Prove que, para qualquer constante k,[k cdot f(x)]^* g(x)=k cdot[f(x)^* g(x)].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer constante k, a convolução de k,f com g é igual a k vezes a convolução de f com g. O conteúdo que vamos usar é a definição de convolução e a propriedade de linearidade da integral.

Passo 2

Pela definição de convolução, para funções adequadas f e g temos
(f * g)(x) ;=;integral-infty^infty f(t),g(x-t),dt

Passo 3

Substituindo f por k,f na definição, obtemos
l((k,f) * gr)(x) =integral-infty^infty l(k,f(t)r),g(x-t),dt
Como k é constante, podemos tirá-lo para fora da integral:

Passo 4

l((k,f) * gr)(x) = k integral-infty^infty f(t),g(x-t),dt = k,l(f * gr)(x)

Resposta

(k,f) * g ;=; k,l(f * gr)

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