Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede três coisas:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (conjunto de valores assumidos por
). - Esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão de
é um polinômio quadrático de segundo grau: .
Passo 2
Domínio: o que é domínio e como identificar para essa função.
- Definição rápida e intuitiva: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido. - Polinômios (como
) estão definidos para todo número real — não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo, nem logaritmo etc. Portanto, a função está definida para qualquer .
Conclusão do Passo: o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Reescrever a função de forma que fique mais fácil de analisar (completar o quadrado / reconhecer forma perfeita).
- Observe que
é uma expressão conhecida: é exatamente o quadrado de um binômio. - Verificação em escrita explícita:
- Portanto podemos escrever a função na forma
Explicação por que isso ajuda: a forma
mostra imediatamente que
é um quadrado, e quadrados reais são sempre maiores ou iguais a zero.
Passo 4
Determinar a imagem usando a forma
.
- Propriedade usada: para qualquer número real
vale , com igualdade somente quando . - Aqui
. Então para todo . - Existe
tal que ? Sim: para temos . - Assim o menor valor que
atinge é , e não existe valor menor; por outro lado, como varia, pode crescer arbitrariamente (vai a ).
Conclusão do Passo: a imagem (ou conjunto imagem / contradomínio efetivo) é.
Passo 5
Localizar vértice, eixo de simetria e comportamento (confirmando a interpretação geométrica).
- A forma
mostra que o vértice da parábola é o ponto : coordenada e valor mínimo . - O eixo de simetria é a reta vertical
. - Coeficiente de
é , logo a parábola abre para cima (tem mínimo, não máximo). - Alternativa (verificação com derivadas):
. Anulando, . Segunda derivada confirma mínimo em . - Raízes/x-interceptos: resolver
(raiz dupla). - Intercepto em
: , então o ponto está no gráfico.
Passo 6
Como esboçar o gráfico passo a passo (você pode desenhar isso rápido na prova):
- Marque o ponto vértice
. - Trace a reta vertical do eixo de simetria
(opcional para guiar). - Marque pontos simétricos em relação ao eixo: por exemplo
e (pois ). - Desenhe uma parábola suave que passe pelo vértice e pelos pontos citados, abrindo para cima.
- Observe que a raiz é única e dupla em
— a parábola toca o eixo apenas em .
Pequeno esboço textual aproximado (use só como guia ao desenhar):
y
^
| *
| /
| /
|**–> x
y
^
| *
| /
| /
|**–> x
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido:
- Domínio: todos os reais porque é um polinômio.
- Imagem:
porque a função é um quadrado perfeito com mínimo em . - Gráfico: parábola com vértice em
, eixo de simetria , abre para cima, intercepto em em e raiz dupla em .
Vai dar certo — pratique desenhando a parábola algumas vezes e marcar esses pontos-chave; na prova você faz isso em 1 minuto.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: parábola com vértice em , eixo de simetria
, abre para cima; intercepto em
em
e raiz dupla em
Imagem:
Gráfico: parábola com vértice em