Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
f(x)=x^{2}-2 x+1.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x^{2}-2x+1 e pede três coisas:
  • Encontrar o domínio de f.
  • Encontrar a imagem (conjunto de valores assumidos por f).
  • Esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão de f é um polinômio quadrático de segundo grau: f(x)=x^{2}-2x+1.

Passo 2

Domínio: o que é domínio e como identificar para essa função.
  • Definição rápida e intuitiva: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido.
  • Polinômios (como x^{2}-2x+1) estão definidos para todo número real — não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo, nem logaritmo etc. Portanto, a função está definida para qualquer x\in\mathbb{R}.
    Conclusão do Passo: o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Reescrever a função de forma que fique mais fácil de analisar (completar o quadrado / reconhecer forma perfeita).
  • Observe que x^{2}-2x+1 é uma expressão conhecida: é exatamente o quadrado de um binômio.
  • Verificação em escrita explícita:
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
  • Portanto podemos escrever a função na forma
f(x)=(x-1)^{2}.
Explicação por que isso ajuda: a forma (x-1)^{2} mostra imediatamente que f(x) é um quadrado, e quadrados reais são sempre maiores ou iguais a zero.

Passo 4

Determinar a imagem usando a forma (x-1)^{2}.
  • Propriedade usada: para qualquer número real t vale t^{2}\ge 0, com igualdade somente quando t=0.
  • Aqui t=x-1. Então (x-1)^{2}\ge 0 para todo x.
  • Existe x tal que (x-1)^{2}=0? Sim: para x=1 temos (1-1)^{2}=0.
  • Assim o menor valor que f atinge é 0, e não existe valor menor; por outro lado, como x varia, (x-1)^{2} pode crescer arbitrariamente (vai a +\infty).
    Conclusão do Passo: a imagem (ou conjunto imagem / contradomínio efetivo) é [0,\infty).

Passo 5

Localizar vértice, eixo de simetria e comportamento (confirmando a interpretação geométrica).
  • A forma (x-1)^{2} mostra que o vértice da parábola é o ponto (1,0): coordenada x=1 e valor mínimo f(1)=0.
  • O eixo de simetria é a reta vertical \,x=1.
  • Coeficiente de x^{2} é 1>0, logo a parábola abre para cima (tem mínimo, não máximo).
  • Alternativa (verificação com derivadas): f'(x)=2x-2. Anulando, f'(x)=0\Rightarrow x=1. Segunda derivada f''(x)=2>0 confirma mínimo em x=1.
  • Raízes/x-interceptos: resolver f(x)=0\Rightarrow (x-1)^{2}=0\Rightarrow x=1 (raiz dupla).
  • Intercepto em y: f(0)=0^{2}-2\cdot0+1=1, então o ponto (0,1) está no gráfico.

Passo 6

Como esboçar o gráfico passo a passo (você pode desenhar isso rápido na prova):
  1. Marque o ponto vértice \,(1,0).
  2. Trace a reta vertical do eixo de simetria \,x=1 (opcional para guiar).
  3. Marque pontos simétricos em relação ao eixo: por exemplo (0,1) e (2,1) (pois f(0)=f(2)=1).
  4. Desenhe uma parábola suave que passe pelo vértice e pelos pontos citados, abrindo para cima.
  5. Observe que a raiz é única e dupla em (1,0) — a parábola toca o eixo x apenas em (1,0).
Pequeno esboço textual aproximado (use só como guia ao desenhar):
y
^
| *
| /
| /
|**–> x
(1,0) (0,1) (2,1)

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido:
  • Domínio: todos os reais porque é um polinômio.
  • Imagem: [0,\infty) porque a função é um quadrado perfeito com mínimo 0 em x=1.
  • Gráfico: parábola com vértice em (1,0), eixo de simetria \,x=1, abre para cima, intercepto em y em (0,1) e raiz dupla em (1,0).
    Vai dar certo — pratique desenhando a parábola algumas vezes e marcar esses pontos-chave; na prova você faz isso em 1 minuto.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)
Gráfico: parábola com vértice em (1,0), eixo de simetria x=1, abre para cima; intercepto em y em (0,1) e raiz dupla em x=1

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