Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=2 x^2+3 x

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função quadrática f(x)=2x^2+3x. O conteúdo envolvido é funções polinomiais de segundo grau, em que usaremos conceitos de domínio de polinômio, cálculo de vértice, concavidade e interceptos para desenhar a parábola.

Passo 2

Como todo polinômio, o domínio de f(x) é o conjunto de todos os números reais. Logo,
Domínio(f)=Rí

Passo 3

Para achar a imagem, primeiro determinamos o vértice da parábola. Numa função ax^2+bx+c, o eixo de simetria é xv=-tfracb2a. Aqui a=2 e b=3, então
xv=-32cdot2=-34

Passo 4

O valor mínimo (já que a>0, parábola com concavidade voltada para cima) é yv=f(xv). Calculando:
yv=2l(-tfrac34r)^2+3l(-tfrac34r)=2cdottfrac916-tfrac94=tfrac98-tfrac188=-tfrac98

Passo 5

Como essa é uma parábola de concavidade para cima e tem mínimo em (xv,yv)=(-tfrac34,-tfrac98), a imagem é
Ima>=m(f)=[-tfrac98,,+infty)

Passo 6

Para ajudar no esboço, achamos os interceptos: em y, f(0)=0, então passa por (0,0); em x, resolvemos 2x^2+3x=0, isto é x(2x+3)=0, dando x=0 e x=-tfrac32.
No gráfico, desenhe o eixo de simetria x=-tfrac34, marque o vértice (-tfrac34,-tfrac98) e os pontos (0,0) e (-tfrac32,0). Em seguida, trace a parábola voltada para cima passando por esses pontos.

Resposta

Domínio: R. Imagem: [ -tfrac98,,infty ). O gráfico é uma parábola de concavidade para cima com vértice em (-tfrac34,-tfrac98) e interceptos em (0,0) e (-tfrac32,0).

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