Seja
uma função diferenciável tal que
.
Se
, calcule
.
Se
Passo 1
A questão dá uma função diferenciável f(x,y,z) com ∇f(1,1,cos 1)=(1,1,1) e define F(t)=f(t²+1, e^{t-1}, cos(t+1)). Queremos F′(0). Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Quando temos F(t)=f(x(t),y(t),z(t)), a derivada é dada por
Isso vem de somar as derivadas parciais de f multiplicadas pelas derivadas das componentes.
Passo 3
Aqui identificamos:
$$x(t)=t^2+1,\quad y(t)=e^{t-1},\quad z(t)=\cos(t+1).
Passo 4
No ponto t=0 temos:
$$x(0)=1,\quad y(0)=e^{-1},\quad z(0)=\cos1.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia em t=0:
Resposta
F’(0)=e^{-1}-\sin(1)