Seja f(x, y, z) uma função diferenciável tal que nabla f(1,1, cos (1))=(1,1,1).
Se F(t)=f(t^2+1, e^t-1, cos (t+1)), calcule F^prime(0).

Passo 1

A questão dá uma função diferenciável f(x,y,z) com ∇f(1,1,cos 1)=(1,1,1) e define F(t)=f(t²+1, e^{t-1}, cos(t+1)). Queremos F′(0). Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Quando temos F(t)=f(x(t),y(t),z(t)), a derivada é dada por
F'(t)=nabla f(x(t),y(t),z(t))cdot l(x'(t),y'(t),z'(t)r)
Isso vem de somar as derivadas parciais de f multiplicadas pelas derivadas das componentes.

Passo 3

Aqui identificamos:
$$x(t)=t^2+1,\quad y(t)=e^{t-1},\quad z(t)=\cos(t+1).
x(t)=t^2+1, y(t)=e^t-1, z(t)=cos(t+1) x’(t)=2t,\quad y’(t)=e^{t-1},\quad z’(t)=-\sin(t+1).$$

Passo 4

No ponto t=0 temos:
$$x(0)=1,\quad y(0)=e^{-1},\quad z(0)=\cos1.
x(0)=1, y(0)=e^-1, z(0)=cos1 óãx’(0)=0,\quad y’(0)=e^{-1},\quad z’(0)=-\sin1.$$

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia em t=0:
F'(0)=l(1,1,1r)cdotl(0,,e^-1,,-sin1r) =1cdot0+1cdot e^-1+1cdot(-sin1) =e^-1-sin1

Resposta

F’(0)=e^{-1}-\sin(1)

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