Suponha que a temperatura num ponto (x, y, z) do espaço esteja sendo medida por T(x, y, z)=x y e^-y z e que um pernilongo que esteja localizado no ponto (1,1,0).
O pernilongo decidiu voar em linha reta na direção de uma possivel vítima de sua picada que está localizada no ponto (3,3,1). Qual a taxa de variação de temperatura que ele erá sentir no momento de sua partida?

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura é dada por T(x,y,z)=x,y,e^-y z e que um pernilongo parte do ponto (1,1,0) em linha reta rumo a (3,3,1). Queremos a taxa de variação instantânea de T na direção do voo no momento da partida, ou seja, a derivada direcional de T em (1,1,0).

Passo 2

Primeiro encontramos o vetor de direção do voo: subtraindo o ponto de partida do ponto de destino, temos V=(3-1,3-1,1-0)=(2,2,1). Normalizando esse vetor para obter o vetor unitário u, calculamos o módulo lVert VrVert=raiz2^2+2^2+1^2=3, logo
u=13(2,2,1)=l(tfrac23,tfrac23,tfrac13r)

Passo 3

Agora calculamos o gradiente de T. Como T(x,y,z)=x,y,e^-y z, temos:
partial Tpartial x=y,e^-yz,
partial Tpartial y=x,e^-yz+x,y,e^-yz(-z)=x,e^-yz(1-yz),
partial Tpartial z=x,y,e^-yz(-y)=-x,y^2,e^-yz

Passo 4

Em seguida avaliamos o gradiente em (1,1,0). Como e^-1cdot0=1, obtemos:
nabla T(1,1,0)=l(1,1,-1r)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional de T na direção u em (1,1,0) é o produto escalar
D uT=nabla T(1,1,0)cdot u=(1,1,-1)cdotl(tfrac23,tfrac23,tfrac13r)=tfrac23+tfrac23-tfrac13=1

Resposta

1

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