Encontre domínio, imagem e faça esboço do gráfico da função
dada por:
(teto: menor inteiro maior ou igual a
)
Passo 1
O problema pede para encontrarmos o domínio, a imagem e esboçarmos o gráfico da função f(x)=⌈x⌉, onde ⌈x⌉ é o menor inteiro maior ou igual a x. Vamos usar conceitos de funções definidas por partes e propriedades da função teto.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que a função teto está definida para todo número real x. Não há restrição de valor para x, pois podemos tomar o menor inteiro maior que qualquer real. Logo, o domínio é o conjunto de todos os reais.
Passo 3
Para encontrar a imagem, percebemos que, como o valor de f(x) é sempre um inteiro (o menor inteiro ≥ x), a função só assume valores inteiros. E, para cada inteiro n existe x (por exemplo x=n) tal que ⌈x⌉=n. Assim, a imagem é o conjunto dos inteiros.
Passo 4
O esboço do gráfico é formado por “degraus” horizontais. Em cada intervalo (n−1,n] temos f(x)=n. Cada segmento horizontal está fechado no ponto x=n (porque ⌈n⌉=n) e aberto em x=n−1 (pois ⌈n−1⌉=n−1). Em x inteiro o gráfico salta de n−1 para n, mostrando descontinuidade de salto em cada inteiro.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Gráfico: degraus horizontais em cada intervalo (n−1,n], com valor f(x)=n, aberto em x=n−1 e fechado em x=n, gerando saltos de dimensão 1 em cada n inteiro.