As funções a seguir, que se supõem ser periódicas e de período 2 pi, são pares, ímpares, ou nem pares nem ímpares?
0 se se

Passo 1

Temos uma função periódica de período 2pi definida por partes em -pi,0 e 0,pi. Queremos determinar se ela é par ( f(-x)=f(x)), ímpar ( f(-x)=-f(x)) ou nenhuma das duas.

Passo 2

Para x em 0,pi, note que -x está em -pi,0. Logo,
f(-x)=11+(-x)^2=11+x^2,
enquanto
Portanto temos
f(x)=-11+x^2

Passo 3

Como essa relação vale para todo x em (0,pi) e, por simetria e periodicidade, se estende a todos os x, concluímos que a função satisfaz f(-x)=-f(x).

Resposta

A função é ímpar.

Exercícios relacionados