Encontre o Domínio a Imagem e faça o gráfico de cada funções abaixo
Passo 1
A questão pede para achar o domínio, a imagem (range) e esboçar o gráfico da função racional
. Vamos usar conceitos de função racional, análise de denominador, sinais, limites e simetria para traçar o gráfico.
Passo 2
Para encontrar o domínio de
, lembramos que o denominador não pode ser zero. Rezolvendo
não há solução real, pois
não tem raiz real. Logo, o domínio é todo conjunto dos números reais:
Passo 3
O próximo passo é a imagem (ou conjunto-alvo) de
. Como
, temos
para todo
. Isso faz
variar entre um valor máximo, quando o denominador é mínimo (em
), e tende a zero quando
. Assim:
– Em :
é o valor máximo.
– Quando :
e
, mas nunca atinge zero.
Portanto a imagem é o intervalo aberto em zero até o extremo fechado em 3:
– Em
– Quando
Portanto a imagem é o intervalo aberto em zero até o extremo fechado em 3:
Passo 4
Para esboçar o gráfico, observamos que:
– é função par (depende de
), logo é simétrica em relação ao eixo
.
– Há assíntota horizontal em (porque
quando
).
– O ponto de máximo está em .
– Podemos calcular mais alguns pontos: por exemplo, e
, para orientar o formato da curva.
– Unimos esses pontos com uma curva suave, decrescente de até se aproximar de
, mantendo a simetria.
O gráfico resultante é uma “campânula” que atinge o pico e cai em direção à linha
, sem nunca tocá-la.
–
– Há assíntota horizontal em
– O ponto de máximo está em
– Podemos calcular mais alguns pontos: por exemplo,
– Unimos esses pontos com uma curva suave, decrescente de
O gráfico resultante é uma “campânula” que atinge o pico
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: curva simétrica em relação ao eixo
, com ponto de máximo em
e assíntota horizontal
, decrescendo de 3 até se aproximar de zero sem alcançar.