Encontre o Domínio a Imagem e faça o gráfico de cada funções abaixo
f(x)=3x^2+1

Passo 1

A questão pede para achar o domínio, a imagem (range) e esboçar o gráfico da função racional f(x)=3x^2+1. Vamos usar conceitos de função racional, análise de denominador, sinais, limites e simetria para traçar o gráfico.

Passo 2

Para encontrar o domínio de f(x)=3x^2+1, lembramos que o denominador não pode ser zero. Rezolvendo x^2+1=0 não há solução real, pois x^2=-1 não tem raiz real. Logo, o domínio é todo conjunto dos números reais:

Passo 3

O próximo passo é a imagem (ou conjunto-alvo) de f. Como x^2>=0, temos x^2+1>=1 para todo xin R. Isso faz f(x)=3/(x^2+1) variar entre um valor máximo, quando o denominador é mínimo (em x=0), e tende a zero quando |x|toinfty. Assim:
– Em x=0: f(0)=3/1=3 é o valor máximo.
– Quando |x|toinfty: x^2+1toinfty e f(x)to0^+, mas nunca atinge zero.
Portanto a imagem é o intervalo aberto em zero até o extremo fechado em 3:

Passo 4

Para esboçar o gráfico, observamos que:
f é função par (depende de x^2), logo é simétrica em relação ao eixo y.
– Há assíntota horizontal em y=0 (porque f(x)to0 quando |x|toinfty).
– O ponto de máximo está em (0,3).
– Podemos calcular mais alguns pontos: por exemplo, f(1)=f(-1)=3/2=1,5 e f(2)=f(-2)=3/5=0,6, para orientar o formato da curva.
– Unimos esses pontos com uma curva suave, decrescente de 3 até se aproximar de 0, mantendo a simetria.
O gráfico resultante é uma “campânula” que atinge o pico (0,3) e cai em direção à linha y=0,, sem nunca tocá-la.

Resposta

Domínio: R
Imagem: (0,3]
Gráfico: curva simétrica em relação ao eixo y, com ponto de máximo em (0,3) e assíntota horizontal y=0, decrescendo de 3 até se aproximar de zero sem alcançar.

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