Mostre que
integral arcsen(x) d x=x arcsen(x)+raiz1-x^2+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva . O conteúdo principal é integração por partes, para o qual vamos precisar da derivada de e da primitiva de integral arcsen(x),dx.

Passo 2

Começamos aplicando a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
escolhendo
então
u = arcsen(x), dv = dx
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Passo 3

Agora precisamos calcular
integral xraiz1 - x^2,dx
Fazemos a troca t = 1 - x^2, de onde dt = -2x,dx ou x,dx = -tfrac12,dt. Assim
integral xraiz1 - x^2,dx = -tfrac12 integral t^-1/2,dt = -tfrac12 cdot 2,t^1/2 = -raizt = -raiz1 - x^2

Passo 4

Substituindo de volta na expressão por partes, obtemos

Resposta

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