Encontre: 1) O domínio de
2) Os intervalos de crescimento de
3) Pontos críticos de
4) Existência de retas assíntotas verticais e horizontais
5) Estude a existência de pontos mínimos e máximos locais e absolutos
6) Intervalos de concavidade de f para cima ou para baixo
7) Esboce o gráfico de f.
2) Os intervalos de crescimento de
3) Pontos críticos de
4) Existência de retas assíntotas verticais e horizontais
5) Estude a existência de pontos mínimos e máximos locais e absolutos
6) Intervalos de concavidade de f para cima ou para baixo
7) Esboce o gráfico de f.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{x}{x^{2} + 2} $ e precisamos:
- Encontrar o domínio de $ f $
- Identificar os intervalos onde $ f $ está crescendo
- Encontrar os pontos críticos de $ f $
- Verificar se existem retas assíntotas verticais e horizontais
- Estudar se há pontos mínimos e máximos locais e absolutos
- Identificar os intervalos de concavidade para cima ou para baixo
- Esboçar o gráfico de $ f $
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo como domínio de funções, derivadas para encontrar crescimento e pontos críticos, assíntotas e concavidade. Vamos por partes!
Passo 2
1) Dominio de $ f $:
O domínio de uma função são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso de $ f(x) = \frac{x}{x^{2} + 2} $, devemos garantir que o denominador não seja zero.
Como $ x^{2} $ é sempre não negativo e somando 2, o denominador nunca será zero para nenhum valor real de $ x $. Portanto, o domínio de $ f $ é todos os números reais.
Passo 3
2) Intervalos de crescimento de $ f $:
Para encontrar onde a função está crescendo, precisamos calcular a primeira derivada $ f’(x) $ e ver onde ela é positiva.
Primeiro, vamos calcular $ f’(x) $:
Usando a regra do quociente:
Agora, para $ f’(x) > 0 $:
O denominador $ (x^{2} + 2)^{2} $ é sempre positivo. Então, a desigualdade depende do numerador:
Então, $ f(x) $ está crescendo nos intervalos $ (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $.
Passo 4
3) Pontos críticos de $ f $:
Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe. Já vimos que $ f’(x) = \frac{-x^{2} + 2}{(x^{2} + 2)^{2}} $.
Como o denominador nunca é zero, os pontos críticos são onde o numerador é zero:
Portanto, os pontos críticos são $ x = \sqrt{2} $ e $ x = -\sqrt{2} $.
Passo 5
4) Existência de retas assíntotas verticais e horizontais:
Assíntotas verticais: Ocorrem onde o denominador da função é zero e o numerador não é zero. Como vimos no passo 2, $ x^{2} + 2 \neq 0 $ para todo $ x $ real. Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais: Analisamos o comportamento da função quando $ x $ tende a $ \infty $ ou $ -\infty $.
Então, há uma assíntota horizontal em $ y = 0 $.
Passo 6
5) Pontos mínimos e máximos locais e absolutos:
Vamos analisar os pontos críticos $ x = \sqrt{2} $ e $ x = -\sqrt{2} $ para determinar se são máximos ou mínimos.
Usando a primeira derivada:
- Para $ x < -\sqrt{2} $, $ f’(x) < 0 $ (decrescendo)
- Para $ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} $, $ f’(x) > 0 $ (crescendo)
- Para $ x > \sqrt{2} $, $ f’(x) < 0 $ (decrescendo)
Isso indica que em $ x = -\sqrt{2} $ temos um mínimo local e em $ x = \sqrt{2} $ temos um máximo local.
Como a função tende a zero quando $ x $ vai para $ \pm\infty $ e os extremos são os únicos pontos de inflexão, esses também são os únicos pontos extremos absolutos.
Passo 7
6) Intervalos de concavidade de $ f $ para cima ou para baixo:
Para determinar a concavidade, precisamos da segunda derivada $ f’’(x) $.
Começamos com $ f’(x) = \frac{-x^{2} + 2}{(x^{2} + 2)^{2}} $.
Vamos derivar novamente:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Fatorando $ x $:
Agora, analisamos onde $ f’’(x) $ é positivo ou negativo:
Isso depende do sinal de $ x $ e de $ x^{2} - 6 $:
- $ x > 0 $ e $ x^{2} - 6 > 0 $ ($ |x| > \sqrt{6} $) → concavidade para cima
- $ x < 0 $ e $ x^{2} - 6 > 0 $ ($ |x| > \sqrt{6} $) → concavidade para baixo
- Caso contrário, $ f’’(x) < 0 $ → concavidade para baixo (quando $ |x| < \sqrt{6} $)
Portanto:
- Concavidade para cima em $ x < -\sqrt{6} $ e $ x > \sqrt{6} $
- Concavidade para baixo em $ -\sqrt{6} < x < \sqrt{6} $
Passo 8
7) Esboço do gráfico de $ f $:
Com todas as informações levantadas:
- Domínio: $ \mathbb{R} $
- Crescimento: $ (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $
- Pontos críticos: $ x = \pm\sqrt{2} $ (mínimo em $ -\sqrt{2} $, máximo em $ \sqrt{2} $)
- Assíntotas: Horizontal em $ y = 0 $, sem assíntotas verticais
- Concavidade: Para cima em $ x < -\sqrt{6} $ e $ x > \sqrt{6} $; para baixo em $ -\sqrt{6} < x < \sqrt{6} $
No esboço, a função passa pelos pontos críticos, aproxima-se da assíntota horizontal à medida que $ x $ vai para $ \pm\infty $, e muda a concavidade nos valores de $ x = \pm\sqrt{6} $.
Resposta
Analisamos a função $ f(x) = \frac{x}{x^{2} + 2} $ e determinamos que:
- Domínio: Todos os números reais.
- Crescimento: A função está crescendo no intervalo $ (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $.
- Pontos críticos: $ x = \pm\sqrt{2} $, sendo $ x = -\sqrt{2} $ um mínimo local e $ x = \sqrt{2} $ um máximo local.
- Assíntotas: Existe uma assíntota horizontal em $ y = 0 $ e nenhuma assíntota vertical.
- Extremos absolutos: Os pontos críticos também são os únicos extremos absolutos.
- Concavidade: A função é côncava para cima em $ x < -\sqrt{6} $ e $ x > \sqrt{6} $, e côncava para baixo entre $ -\sqrt{6} $ e $ \sqrt{6} $.
- Gráfico: O gráfico apresenta um comportamento simétrico em relação ao eixo $ y $, com máximos e mínimos nos pontos críticos, aproximando-se da assíntota horizontal $ y = 0 $ em direções opostas conforme $ x $ tende a $ \pm\infty $, e muda a concavidade nos pontos $ x = \pm\sqrt{6} $.