(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
e) Calcule fx(0,0) e f_y(0,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , que é definida de forma diferente quando e quando . O conteúdo que vamos abordar é cálculo de derivadas parciais, especificamente as derivadas de em relação a e no ponto . Para resolver, precisamos saber como calcular derivadas parciais e aplicar a definição delas.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a no ponto , representada por . A derivada parcial de em um ponto é definida como o limite:

Passo 3

Substituímos os valores na expressão. Sabemos que . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, substituímos na definição da derivada:

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a no ponto , representada por . A definição é semelhante:

Passo 6

Vamos calcular :

Passo 7

Substituímos na definição da derivada:

Resposta

As derivadas parciais no ponto são:

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