- Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem.
- Expresse o gráfico como conjunto e faça um esboço no plano cartesiano.
- Determine se a função é crescente, decrescente, par ou impar.
Passo 1
O enunciado pede para a função f(x)=|x+2| encontrarmos domínio, imagem, expressarmos o gráfico como conjunto, fazermos um esboço e estudarmos monotonicidade e paridade. O conteúdo envolvido é função valor absoluto, imagem e domínio de funções reais, representação de gráficos em R² e conceito de crescente/decrescente e par/ímpar.
Passo 2
Para achar o domínio usamos que valor absoluto está definido para todo x real. Logo, o domínio de f é o conjunto de todos os números reais.
Passo 3
Para a imagem lembramos que |x+2| é sempre não negativo, chegando a zero no ponto em que x+2=0. Assim a imagem de f é o intervalo [0,∞).
Passo 4
Para expressar o gráfico como conjunto usamos a notação em R² e a forma piecewise da função:
“[{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y=|x+2|}={(x,y):x\le-2,;y=-x-2}\cup{(x,y):x\ge-2,;y=x+2}\”,
informando que para x≤–2 temos y=–x–2 e para x≥–2 temos y=x+2.
informando que para x≤–2 temos y=–x–2 e para x≥–2 temos y=x+2.
Passo 5
No esboço no plano cartesiano o gráfico é um “V” com vértice em (–2,0), ramo à esquerda de inclinação –1 e ramo à direita de inclinação +1.
Passo 6
Para monotonicidade observamos que, à medida que x aumenta de –∞ até –2, f(x) decresce, e de –2 a ∞, f(x) cresce. Logo, f é decrescente em (–∞,–2) e crescente em (–2,∞).
Passo 7
Para paridade testamos f(–x) e vemos que f(–x)=|–x+2|=|x–2|≠f(x) em geral, e tampouco f(–x)=–f(x). Assim a função não é nem par nem ímpar.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Gráfico como conjunto: