Exercício 18. (Apostol seção 4.10 exercícios 4) Em cada um dos casos, mostre que as matrizes têm 3 autovetores linearmente indenpendentes, porém não possuem 3 autovalores distintos. Ache uma matriz C tal que C^-1 A C é diagonal.
A=(lll0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
e pede para mostrarmos que, embora haja apenas dois autovalores distintos, existem três autovetores linearmente independentes, ou seja, A é diagonalizável. Em seguida, precisamos encontrar uma matriz C cujas colunas sejam esses autovetores, de modo que
C^-1 A C
fique diagonal.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico det(A - lambda I). Temos
det(A - lambda I) = det -lambda & 0 & 1 0 & 1-lambda & 0 1 & 0 & -lambda = (1-lambda),det -lambda & 1 1 & -lambda = (1-lambda),(lambda^2-1)
Logo
det(A - lambda I) = (1-lambda)(lambda-1)(lambda+1) = -(lambda-1)^2(lambda+1)
Os autovalores são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=-1 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 3

Para resolvemos :
Dessa equação vem e livre. Tomando parâmetros e , um sistema de geradores é dado por
Assim a dimensão do espaço próprio para é 2.

Passo 4

Para resolvemos :
Escolhendo , um gerador é
Logo a dimensão do espaço próprio para é 1.

Passo 5

Juntando, temos três autovetores v1,v2,v3 linearmente independentes. Montamos a matriz
C = l[v1;v2;v3r] = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & -1
Por construção C^-1AC ficará diagonal, com entradas diagonais iguais aos autovalores na ordem escolhida.

Resposta

C = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & -1 , C^-1 A C = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1

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