Encontre o domínio, pontos de corte com os eixos
e
e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio, os pontos de corte com os eixos X e Y e esboçar o gráfico da função racional
. O conteúdo é funções racionais, e vamos usar: domínio de frações, interceptos onde f(x)=0 ou x=0, assíntotas e estudo de sinais para o esboço.
Passo 2
Para achar o domínio, a gente exige que o denominador não seja zero. Aqui
implica
, ou seja,
e
. Logo o domínio é
Passo 3
Para os cortes com os eixos:
- Eixo X: f(x)=0 quando o numerador
, então . Ponto de corte: . - Eixo Y: x=0, então f(0)=
. Ponto de corte: .
Passo 4
Agora as assíntotas. Como o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1), a assíntota horizontal é
. E onde o denominador zera, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, fazemos um rápido estudo de sinais:
- Em
: numerador negativo, denominador positivo ⇒ f(x)<0. - Em
: numerador positivo, denominador positivo ⇒ f(x)>0. - Em
: numerador positivo, denominador negativo ⇒ f(x)<0. - Em
: numerador positivo, denominador positivo ⇒ f(x)>0.
Passo 6
Com esses dados montamos o esboço:
- Três ramos separados pelas retas
e . - Em cada ramo, a curva tende a
quando e a quando . - Ela cruza o eixo X em
e o eixo Y em .
Resposta
Domínio: (-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,∞). Corte com X: (-4,0). Corte com Y: (0,-4/9). Assíntotas: verticais x=-3, x=3; horizontal y=0. O gráfico tem ramos abaixo de y=0 em (-∞,-4) e (-3,3), ramos acima de y=0 em (-4,-3) e (3,∞), aproximando-se de x=±3 verticalmente e de y=0 horizontalmente.