Encontre o domínio, pontos de corte com os eixos X e Y e esboce o gráfico das seguintes funções:
x+4x^2-9

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio, os pontos de corte com os eixos X e Y e esboçar o gráfico da função racional f(x)=x+4x^2-9. O conteúdo é funções racionais, e vamos usar: domínio de frações, interceptos onde f(x)=0 ou x=0, assíntotas e estudo de sinais para o esboço.

Passo 2

Para achar o domínio, a gente exige que o denominador não seja zero. Aqui x^2-9neq0 implica x^2neq9, ou seja, xneq3 e xneq-3. Logo o domínio é
(-infty,-3)cup(-3,3)cup(3,infty)

Passo 3

Para os cortes com os eixos:
  • Eixo X: f(x)=0 quando o numerador x+4=0, então x=-4. Ponto de corte: (-4,0).
  • Eixo Y: x=0, então f(0)= (0+4)/(0-9)=-4/9. Ponto de corte: (0,-4/9).

Passo 4

Agora as assíntotas. Como o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1), a assíntota horizontal é y=0. E onde o denominador zera, temos assíntotas verticais em x=-3 e x=3.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, fazemos um rápido estudo de sinais:
  • Em (-infty,-4): numerador negativo, denominador positivo ⇒ f(x)<0.
  • Em (-4,-3): numerador positivo, denominador positivo ⇒ f(x)>0.
  • Em (-3,3): numerador positivo, denominador negativo ⇒ f(x)<0.
  • Em (3,infty): numerador positivo, denominador positivo ⇒ f(x)>0.

Passo 6

Com esses dados montamos o esboço:
  • Três ramos separados pelas retas x=-3 e x=3.
  • Em cada ramo, a curva tende a y=0 quando xtopminfty e a pminfty quando xtopm3.
  • Ela cruza o eixo X em (-4,0) e o eixo Y em (0,-4/9).

Resposta

Domínio: (-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,∞). Corte com X: (-4,0). Corte com Y: (0,-4/9). Assíntotas: verticais x=-3, x=3; horizontal y=0. O gráfico tem ramos abaixo de y=0 em (-∞,-4) e (-3,3), ramos acima de y=0 em (-4,-3) e (3,∞), aproximando-se de x=±3 verticalmente e de y=0 horizontalmente.

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