Resolva:
y^prime y^72=e^2 x+5 x+1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial y',y^7/2 = e^2x + 5x + 1. O conteúdo principal aqui é equação diferencial separável, e vamos precisar reconhecer que podemos colocar todos os termos em y de um lado e os termos em x do outro.

Passo 2

Para separar as variáveis, escrevemos y' = dydx e obtemos
y^7/2dydx = e^2x + 5x + 1,
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y^7/2,dy = l(e^2x + 5x + 1r)dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. De um lado usamos a fórmula integral y^n dy = y^n+1n+1, e do outro integramos termo a termo:
integral y^7/2 dy = integral l(e^2x + 5x + 1r)dx

Passo 4

Calculando as integrais:
integral y^7/2 dy = y^9/29/2 = 29y^9/2,
integral e^2xdx = e^2x2, integral 5x,dx = 5x^22, integral 1,dx = x,
portanto
29y^9/2 = e^2x2 + 5x^22 + x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 9/2 e incorporamos 9C/2 numa nova constante, que chamamos também de C:
y^9/2 = 94e^2x + 454x^2 + 92x + C

Passo 6

Por fim, isolamos y extraindo a potência 9/2:
y(x) = l(94e^2x + 454x^2 + 92x + Cr)^2/9

Resposta

y(x) = l(tfrac94e^2x + tfrac454x^2 + tfrac92x + Cr)^2/9

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