Encontre o domínio, raizes, interseção da curva com o eixo
, assintotas verticais e horizontais (se existirem) e esboce o gráfico das seguintes funções racionais ou algébricas (você pode usar o geogebra para conferir sua resposta):
Passo 1
O enunciado pede para a função racional
determinarmos o domínio, as raízes (zeros), a interseção com o eixo
, as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) e, por fim, esboçarmos o gráfico. Vamos usar fatoração, propriedades de limites e análise de sinais de cada região.
Passo 2
Determinamos o domínio exigindo que o denominador seja diferente de zero. Temos
logo
Portanto o domínio é
Passo 3
As raízes vêm de zerar o numerador:
logo
Passo 4
A interseção com o eixo
é
. Substituindo
:
Passo 5
Como não há cancelamento entre numerador e denominador, cada zero do denominador gera uma assíntota vertical:
Passo 6
Os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), então há assíntota horizontal em
Passo 7
Para esboçar o gráfico, analisamos o comportamento em cada intervalo de domínio:
- Em
: ao , . Em , como numerador em é positivo e denominador , . Passa pelos zeros em e , cruzando o eixo . - Em
: ao , ; ao , . A curva fica abaixo do eixo nesse intervalo. - Em
: ao , ; ao , por baixo ou por cima, aproximando-se da linha .
Com isso traçamos as retas
,
(verticais), a reta
(horizontal), marcamos zeros em
,
e ponto
, e desenhamos os ramos conforme o comportamento acima.
Resposta
Domínio:
Raízes: e
Interseção com eixo :
Assíntotas verticais: e
Assíntota horizontal:
Esboço: ramos que passam pelos pontos indicados, tendendo a em
e a
junto a
e
.
Raízes:
Interseção com eixo
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Esboço: ramos que passam pelos pontos indicados, tendendo a