Encontre o domínio, raizes, interseção da curva com o eixo y, assintotas verticais e horizontais (se existirem) e esboce o gráfico das seguintes funções racionais ou algébricas (você pode usar o geogebra para conferir sua resposta):
y=f(x)=x^2-5 x+6x^2-9 x+20

Passo 1

O enunciado pede para a função racional
f(x)=x^2-5x+6x^2-9x+20
determinarmos o domínio, as raízes (zeros), a interseção com o eixo y, as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) e, por fim, esboçarmos o gráfico. Vamos usar fatoração, propriedades de limites e análise de sinais de cada região.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o denominador seja diferente de zero. Temos
x^2-9x+20=(x-4)(x-5)neq0
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xneq4, xneq5
Portanto o domínio é
xinRmid xneq4,5

Passo 3

As raízes vêm de zerar o numerador:
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0
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x=2ou x=3

Passo 4

A interseção com o eixo y é f(0). Substituindo x=0:
f(0)=0^2-5cdot0+60^2-9cdot0+20=620=310

Passo 5

Como não há cancelamento entre numerador e denominador, cada zero do denominador gera uma assíntota vertical:
x=4 e x=5

Passo 6

Os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), então há assíntota horizontal em
y=coeficiente líder do numeradorcoeficiente líder do denominador =11=1 íí

Passo 7

Para esboçar o gráfico, analisamos o comportamento em cada intervalo de domínio:
  1. Em (-infty,4): ao xto-infty, f(x)to1. Em xto4^-, como numerador em 4 é positivo e denominador (4-4)(4-5)to0^+, f(x)to+infty. Passa pelos zeros em x=2 e x=3, cruzando o eixo x.
  2. Em (4,5): ao xto4^+, f(x)to-infty; ao xto5^-, f(x)to-infty. A curva fica abaixo do eixo x nesse intervalo.
  3. Em (5,infty): ao xto5^+, f(x)to+infty; ao xto+infty, f(x)to1 por baixo ou por cima, aproximando-se da linha y=1.
Com isso traçamos as retas x=4, x=5 (verticais), a reta y=1 (horizontal), marcamos zeros em (2,0), (3,0) e ponto (0,3/10), e desenhamos os ramos conforme o comportamento acima.

Resposta

Domínio: xinRmid xneq4,5
Raízes: x=2 e x=3
Interseção com eixo y: l(0,tfrac310r)
Assíntotas verticais: x=4 e x=5
Assíntota horizontal: y=1
Esboço: ramos que passam pelos pontos indicados, tendendo a y=1 em pminfty e a pminfty junto a x=4 e x=5.

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