Encontre as seguintes derivadas
y=sen(vv^3+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = sen!l(vv^3+1r)
O conteúdo é Cálculo Diferencial, e vamos usar a regra da cadeia (para a composição de funções) e, dentro dela, a regra do quociente (para derivar u(v)=v/(v^3+1)).

Passo 2

Identificamos a função externa e interna:
– Externa: y = sen(u). Pela regra da cadeia,
dydv = cos(u),dudv
Aqui u = dfracvv^3+1.

Passo 3

Agora derivamos
u(v) = vv^3+1
pela regra do quociente: se u = dfracfg, então
u' = g,f' - f,g'g^2
Tomando f(v)=v e g(v)=v^3+1, temos f' = 1 e g' = 3v^2. Logo,
u' = (v^3+1)cdot1 ;-; vcdot3v^2(v^3+1)^2 = v^3 + 1 -3v^3(v^3+1)^2 = 1 - 2v^3(v^3+1)^2

Passo 4

Voltando à regra da cadeia, substituímos u e u':
dydv = cos!l(vv^3+1r);cdot;1 - 2v^3(v^3+1)^2

Resposta

y' = cos!l(vv^3+1r),1 - 2v^3(v^3+1)^2

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