Encontre o domínio da seguinte função:
Passo 1
Resumo do enunciado: a função é definida como
Precisamos descobrir para quais pares
esse limite existe. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e, no caso de forma indeterminada, a aplicação da ideia de derivada (Regra de L’Hôpital ou definição de derivada).
Passo 2
Análise quando
: se
está fora da diagonal
, então para
próximo de
temos sempre
e a expressão dentro do limite é contínua. Logo,
o que está bem definido para todo
com
.
Passo 3
Análise quando
: se
, a expressão fica na forma indeterminada
. Mas isso é exatamente a razão incremental da função
. Usando a definição de derivada ou L’Hôpital, temos
Portanto o limite existe também sobre a diagonal.
Passo 4
Conclusão do domínio: em ambos os casos — fora da diagonal e sobre a diagonal — o limite existe e é finito. Logo a função
está bem definida para qualquer par
real.
Resposta
O domínio de
é
.