Encontre o domínio da seguinte função:
f(x, y)=lim (u, v) (x, y) e^u-e^vu-v

Passo 1

Resumo do enunciado: a função é definida como
f(x,y)=lim(u,v)to(x,y)e^u-e^vu-v
Precisamos descobrir para quais pares (x,y)inR^2 esse limite existe. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e, no caso de forma indeterminada, a aplicação da ideia de derivada (Regra de L’Hôpital ou definição de derivada).

Passo 2

Análise quando xneq y: se (x,y) está fora da diagonal x=y, então para (u,v) próximo de (x,y) temos sempre uneq v e a expressão dentro do limite é contínua. Logo,
lim(u,v)to(x,y)e^u-e^vu-v=e^x-e^yx-y,
o que está bem definido para todo (x,y) com xneq y.

Passo 3

Análise quando x=y: se y=x, a expressão fica na forma indeterminada 0/0. Mas isso é exatamente a razão incremental da função g(t)=e^t. Usando a definição de derivada ou L’Hôpital, temos
lim(u,v)to(x,x)e^u-e^vu-v=g'(x)=e^x
Portanto o limite existe também sobre a diagonal.

Passo 4

Conclusão do domínio: em ambos os casos — fora da diagonal e sobre a diagonal — o limite existe e é finito. Logo a função f(x,y) está bem definida para qualquer par (x,y) real.

Resposta

O domínio de f é R^2.

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