Calcule o limite
lim x, y, z 0 (x-y)^2|x-z|+|y-z|
Dica: Considere a identidade |x-y|=|x-z+z-y| e aplique a desigualdade triangular.

Passo 1

Enunciado resumido: queremos calcular o limite de
f(x,y,z)=(x-y)^2|x-z|+|y-z|
quando (x,y,z)to(0,0,0). O conteúdo envolve limites de função de várias variáveis e aplicação da desigualdade triangular junto com o teorema do confronto.

Passo 2

Usamos a identidade
|x-y|=|(x-z)+(z-y)|
e aplicamos a desigualdade triangular para obter
|x-y|<=|x-z|+|y-z|

Passo 3

Elevamos ambos os lados ao quadrado para tratar o numerador:
(x-y)^2<=l(|x-z|+|y-z|r)^2

Passo 4

Dividimos essa desigualdade pelo denominador positivo |x-z|+|y-z|:
(x-y)^2|x-z|+|y-z|<=|x-z|+|y-z|

Passo 5

À medida que (x,y,z)to(0,0,0), a soma |x-z|+|y-z| tende a zero. Como (x-y)^2|x-z|+|y-z| é não negativo e fica presa entre 0 e |x-z|+|y-z|, pelo teorema do confronto o limite é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados