Encontre o Domínio das seguintes funções
f(x)=\frac{3 x^{5}+20 x^{3}-x^{2}}{x^{1}-81}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função
f(x)=\frac{3 x^{5}+20 x^{3}-x^{2}}{x^{1}-81}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é o polinômio 3x^{5}+20x^{3}-x^{2}.
  • O denominador é x^{1}-81, que simplifica para x-81.
  • A pergunta é: para quais valores de x essa expressão está definida (ou seja, para quais x o valor de f(x) existe como número real)?

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): uma função do tipo razão de polinômios — uma função racional — está definida para todos os reais exceto aqueles que fazem o denominador igual a zero.
Explicando devagar:
  • Um polinômio (como o numerador) está definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • A operação que pode dar problema é a divisão: não podemos dividir por zero. Logo, devemos excluir do domínio os x tais que o denominador seja zero.
  • Portanto, o domínio será \mathbb{R} menos as raízes do denominador.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes do denominador. Resolver
x-81=0.
Isso dá imediatamente
x=81.
Portanto o denominador zera em x=81, então esse valor precisa ser analisado (provavelmente excluído do domínio).

Passo 4

Antes de concluir, checamos se o numerador também é zero em x=81. Se o numerador fosse zero em x=81, teríamos uma forma 0/0 que indica uma descontinuidade removível (um “buraco”); mesmo assim, na expressão original a função não estaria definida em x=81 — a menos que o problema reescreva a função definindo o valor ali. Como não foi o caso, mesmo uma possível cancelamento não incluiria x=81 no domínio original. Ainda assim, vamos verificar se o numerador é zero para termos certeza.

Passo 5

Fatoremos o numerador para facilitar a verificação:
3x^{5}+20x^{3}-x^{2}=x^{2}\bigl(3x^{3}+20x-1\bigr).
Agora avaliamos o fator cúbico em x=81. Primeiro calculemos:
81^{2}=6561,\qquad 81^{3}=531441.
Então
3\cdot 81^{3}=3\cdot 531441=1594323,
20\cdot 81=1620,
3\cdot 81^{3}+20\cdot 81-1=1594323+1620-1=1595942.
Esse número é claramente diferente de zero (é positivo). Como x^{2} em x=81 também é positivo ( 81^{2}=6561), concluímos que o numerador em x=81 vale
6561\cdot 1595942,
que é um número positivo não nulo. Portanto o numerador NÃO anula o denominador em x=81; não há cancelamento.

Passo 6

Conclusão lógica: o único problema da expressão é o denominador zero em x=81. Como o numerador não zera aí, temos uma descontinuidade essencial (a função original não está definida em x=81). Então o domínio da função é todos os números reais, exceto 81.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{81\}
(-\infty,81)\cup(81,\infty)

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