Encontre o Domínio das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio da função
Informações dadas e observações iniciais:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é
, que simplifica para . - A pergunta é: para quais valores de
essa expressão está definida (ou seja, para quais o valor de existe como número real)?
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e prática): uma função do tipo razão de polinômios — uma função racional — está definida para todos os reais exceto aqueles que fazem o denominador igual a zero.
Explicando devagar:
Explicando devagar:
- Um polinômio (como o numerador) está definido para todo
. - A operação que pode dar problema é a divisão: não podemos dividir por zero. Logo, devemos excluir do domínio os
tais que o denominador seja zero. - Portanto, o domínio será
menos as raízes do denominador.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes do denominador. Resolver
Isso dá imediatamente
Portanto o denominador zera em
, então esse valor precisa ser analisado (provavelmente excluído do domínio).
Passo 4
Antes de concluir, checamos se o numerador também é zero em
. Se o numerador fosse zero em
, teríamos uma forma
que indica uma descontinuidade removível (um “buraco”); mesmo assim, na expressão original a função não estaria definida em
— a menos que o problema reescreva a função definindo o valor ali. Como não foi o caso, mesmo uma possível cancelamento não incluiria
no domínio original. Ainda assim, vamos verificar se o numerador é zero para termos certeza.
Passo 5
Fatoremos o numerador para facilitar a verificação:
Agora avaliamos o fator cúbico em
. Primeiro calculemos:
Então
Esse número é claramente diferente de zero (é positivo). Como
em
também é positivo (
), concluímos que o numerador em
vale
que é um número positivo não nulo. Portanto o numerador NÃO anula o denominador em
; não há cancelamento.
Passo 6
Conclusão lógica: o único problema da expressão é o denominador zero em
. Como o numerador não zera aí, temos uma descontinuidade essencial (a função original não está definida em
). Então o domínio da função é todos os números reais, exceto
.