Questão 4.

( 3,0 \mathrm{pt} ) Determine o único \alpha \in \mathbb{R} que faz com que o campo vetorial abaixo seja conservativo
\vec{F}(x, y)=\left(3 y^{2} e^{2 x}+x \cos (2 y)+x^{3}\right) \vec{i}+\left(\alpha y e^{2 x}-x^{2} \operatorname{sen}(2 y)+y^{4}\right) \vec{j}
Além disso, determine o trabalho realizado por este campo conservativo ao se mover uma partícula ao longo da curva C dada pela parametrização \vec{r}(t)=\left(t^{2}-e^{t^{2}-t}\right) \vec{i}+t \vec{j}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar o único \alpha\in\mathbb{R} que torna o campo vetorial conservativo; (ii) calcular o trabalho realizado por esse campo conservativo ao mover uma partícula ao longo da curva C dada por \vec{r}(t)=\big(t^{2}-e^{t^{2}-t}\big)\vec{i}+t\vec{j}, para 0\le t\le1.
As informações fornecidas são o campo
\vec{F}(x,y)=\big(3y^{2}e^{2x}+x\cos(2y)+x^{3}\big)\vec{i}+\big(\alpha y e^{2x}-x^{2}\operatorname{sen}(2y)+y^{4}\big)\vec{j},
e a parametrização da curva C
\vec{r}(t)=\big(x(t),y(t)\big)=\big(t^{2}-e^{t^{2}-t},\;t\big),\qquad 0\le t\le1.

Passo 2

Vamos usar a condição clássica para um campo \vec{F}=(P,Q) ser conservativo em todo \mathbb{R}^{2} (que é simplesmente conexo): as derivadas parciais cruzadas devem coincidir:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui temos
P(x,y)=3y^{2}e^{2x}+x\cos(2y)+x^{3},
Q(x,y)=\alpha y e^{2x}-x^{2}\operatorname{sen}(2y)+y^{4}.
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias, fazendo passo a passo (lembre: quando derivamos em relação a y, tratamos x como constante, e vice-versa).
Derivando P em relação a y:
  • \partial/\partial y de 3y^{2}e^{2x}: 3\cdot 2y\cdot e^{2x}=6y e^{2x} (porque e^{2x} é constante em relação a y).
  • \partial/\partial y de x\cos(2y): x\cdot(-\operatorname{sen}(2y))\cdot 2 = -2x\operatorname{sen}(2y) (cadeia: derivada de \cos(2y) é -2\operatorname{sen}(2y)).
  • \partial/\partial y de x^{3} é 0.
Portanto
\frac{\partial P}{\partial y}=6y e^{2x}-2x\operatorname{sen}(2y).
Derivando Q em relação a x:
  • \partial/\partial x de \alpha y e^{2x}: \alpha y\cdot 2e^{2x}=2\alpha y e^{2x}.
  • \partial/\partial x de -x^{2}\operatorname{sen}(2y): -2x\operatorname{sen}(2y) (pois \operatorname{sen}(2y) é constante em relação a x).
  • \partial/\partial x de y^{4} é 0.
Assim
\frac{\partial Q}{\partial x}=2\alpha y e^{2x}-2x\operatorname{sen}(2y).
Igualando as duas derivadas parciais:
6y e^{2x}-2x\operatorname{sen}(2y)=2\alpha y e^{2x}-2x\operatorname{sen}(2y).
Podemos cancelar os termos iguais -2x\operatorname{sen}(2y) dos dois lados, sobrando
6y e^{2x}=2\alpha y e^{2x}.
Para todos (x,y) com e^{2x}\neq0 (sempre verdade) e qualquer y, obtemos dividindo por 2y e^{2x} (observando que a igualdade também vale para y=0 automaticamente) que
\alpha=3.
Logo o único \alpha possível é \alpha=3.

Passo 3

Agora que sabemos \alpha=3, o campo é conservativo e existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}, ou seja,
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y),\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q(x,y).
Método prático para encontrar \varphi: integrar P em relação a x tratando y como constante, e depois ajustar com uma função de y (termo de integração que depende só de y).
Com \alpha=3,
P(x,y)=3y^{2}e^{2x}+x\cos(2y)+x^{3}.
Integramos termo a termo em x:
  • \int 3y^{2}e^{2x}\,dx = 3y^{2}\int e^{2x}\,dx = 3y^{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x}=\frac{3}{2}y^{2}e^{2x}.
  • \int x\cos(2y)\,dx = \cos(2y)\int x\,dx = \cos(2y)\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}\cos(2y) (aqui \cos(2y) é constante em relação a x).
  • \int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
Somando e adicionando uma função arbitrária h(y) (pois ao integrar em x podemos perder termos que dependem só de y), obtemos
\varphi(x,y)=\frac{3}{2}y^{2}e^{2x}+\frac{x^{2}}{2}\cos(2y)+\frac{x^{4}}{4}+h(y).

Passo 4

Agora determinamos h(y) exigindo que \partial\varphi/\partial y=Q(x,y). Calculamos \partial\varphi/\partial y com a expressão encontrada:
  • \partial/\partial y de \frac{3}{2}y^{2}e^{2x} é \frac{3}{2}\cdot 2y\cdot e^{2x}=3y e^{2x}.
  • \partial/\partial y de \frac{x^{2}}{2}\cos(2y) é \frac{x^{2}}{2}\cdot(-\operatorname{sen}(2y))\cdot 2 = -x^{2}\operatorname{sen}(2y).
  • \partial/\partial y de \frac{x^{4}}{4} é 0.
  • \partial/\partial y de h(y) é h'(y).
Logo
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=3y e^{2x}-x^{2}\operatorname{sen}(2y)+h'(y).
Devemos igualar isso a Q(x,y) com \alpha=3:
Q(x,y)=3y e^{2x}-x^{2}\operatorname{sen}(2y)+y^{4}.
Comparando, vemos que
h'(y)=y^{4}.
Integramos em y:
h(y)=\int y^{4}\,dy=\frac{y^{5}}{5}+C,
onde C é uma constante arbitrária irrelevante para o gradiente.
Portanto uma função potencial é, escolhendo C=0 para simplicidade,
\varphi(x,y)=\frac{3}{2}y^{2}e^{2x}+\frac{x^{2}}{2}\cos(2y)+\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{5}}{5}.

Passo 5

Para calcular o trabalho ao longo da curva C basta usar o teorema fundamental para campos conservativos: o trabalho é a diferença do potencial nos pontos finais,
W=\varphi\big(\vec{r}(1)\big)-\varphi\big(\vec{r}(0)\big).
Primeiro avaliamos as coordenadas dos extremos usando a parametrização. Para t=1:
x(1)=1^{2}-e^{1-1}=1-e^{0}=1-1=0,\qquad y(1)=1.
Para t=0:
x(0)=0^{2}-e^{0-0}=0-e^{0}=-1,\qquad y(0)=0.
Agora avaliamos \varphi nesses pontos.
Avaliação em \big(x,y\big)=(0,1):
  • \frac{3}{2}y^{2}e^{2x}=\frac{3}{2}\cdot1^{2}\cdot e^{0}=\frac{3}{2}.
  • \frac{x^{2}}{2}\cos(2y)=0 pois x=0.
  • \frac{x^{4}}{4}=0.
  • \frac{y^{5}}{5}=\frac{1}{5}.
Logo
\varphi(0,1)=\frac{3}{2}+\frac{1}{5}=\frac{17}{10}.
Avaliação em \big(x,y\big)=(-1,0):
  • \frac{3}{2}y^{2}e^{2x}=0 pois y=0.
  • \frac{x^{2}}{2}\cos(2y)=\frac{1}{2}\cos(0)=\frac{1}{2}.
  • \frac{x^{4}}{4}=\frac{1}{4}.
  • \frac{y^{5}}{5}=0.
Logo
\varphi(-1,0)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
A constante C do potencial teria cancelado ao subtrair, por isso não precisamos dela. O trabalho é então
W=\varphi(0,1)-\varphi(-1,0)=\frac{17}{10}-\frac{3}{4}=\frac{34-15}{20}=\frac{19}{20}.

Resposta

\alpha=3
W=\dfrac{19}{20}

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