Questão 4.
(
) Determine o único
que faz com que o campo vetorial abaixo seja conservativo
Além disso, determine o trabalho realizado por este campo conservativo ao se mover uma partícula ao longo da curva
dada pela parametrização
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar o único
que torna o campo vetorial conservativo; (ii) calcular o trabalho realizado por esse campo conservativo ao mover uma partícula ao longo da curva
dada por
, para
.
As informações fornecidas são o campo
e a parametrização da curva
Passo 2
Vamos usar a condição clássica para um campo
ser conservativo em todo
(que é simplesmente conexo): as derivadas parciais cruzadas devem coincidir:
Aqui temos
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias, fazendo passo a passo (lembre: quando derivamos em relação a
, tratamos
como constante, e vice-versa).
Derivando
em relação a
:
-
de : (porque é constante em relação a ). -
de : (cadeia: derivada de é ). -
de é .
Portanto
Derivando
em relação a
:
-
de : . -
de : (pois é constante em relação a ). -
de é .
Assim
Igualando as duas derivadas parciais:
Podemos cancelar os termos iguais
dos dois lados, sobrando
Para todos
com
(sempre verdade) e qualquer
, obtemos dividindo por
(observando que a igualdade também vale para
automaticamente) que
Logo o único
possível é
.
Passo 3
Agora que sabemos
, o campo é conservativo e existe uma função potencial
tal que
, ou seja,
Método prático para encontrar
: integrar
em relação a
tratando
como constante, e depois ajustar com uma função de
(termo de integração que depende só de
).
Com
,
Integramos termo a termo em
:
-
-
(aqui é constante em relação a ). -
Somando e adicionando uma função arbitrária
(pois ao integrar em
podemos perder termos que dependem só de
), obtemos
Passo 4
Agora determinamos
exigindo que
. Calculamos
com a expressão encontrada:
-
de é -
de é -
de é . -
de é .
Logo
Devemos igualar isso a
com
:
Comparando, vemos que
Integramos em
:
onde
é uma constante arbitrária irrelevante para o gradiente.
Portanto uma função potencial é, escolhendo
para simplicidade,
Passo 5
Para calcular o trabalho ao longo da curva
basta usar o teorema fundamental para campos conservativos: o trabalho é a diferença do potencial nos pontos finais,
Primeiro avaliamos as coordenadas dos extremos usando a parametrização. Para
:
Para
:
Agora avaliamos
nesses pontos.
Avaliação em
:
-
-
pois . -
-
Logo
Avaliação em
:
-
pois . -
-
-
Logo
A constante
do potencial teria cancelado ao subtrair, por isso não precisamos dela. O trabalho é então