Encontre o domínio das seguintes funções de três variáveis:
f(x, y, z)=raiz3 x^5 y^2-8 x^4 z^2-7 y z+8ln (x z^2-7 y) raiz[3]-5 x y^3 z+8 x y^2 z^4+3 z^5-12

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y,z) =raiz3x^5y^2-8x^4z^2-7yz+8 lnl(xz^2-7yr),raiz[3]-5xy^3z+8xy^2z^4+3z^5-12,
O conteúdo é determinação do domínio de funções reais de três variáveis com radiciação, logaritmo e raiz de índice ímpar no denominador. Vamos impor as restrições de cada parte para garantir que f esteja bem definida e não divida por zero.

Passo 2

Condição da raiz quadrada no numerador: a expressão dentro da raiz deve ser não negativa, pois raizcdot só está real para argumentos >=0. Logo exigimos
3x^5y^2-8x^4z^2-7yz+8 ;>=;0

Passo 3

Condição do logaritmo no denominador: para lnl(xz^2-7yr) ser definido precisamos de
xz^2-7y > 0
Além disso, como ln 1=0 zeraria o denominador, é preciso excluir o caso
xz^2-7y neq 1

Passo 4

Condição da raiz de índice 3 no denominador: em geral raiz[3]u está definida para todo uinR, mas como este fator está no denominador não podemos ter
-5xy^3z+8xy^2z^4+3z^5-12 = 0,
pois isso anularia o denominador.

Passo 5

Reunindo todas as condições temos as três restrições simultâneas:
  1. 3x^5y^2-8x^4z^2-7yz+8 >= 0,
  2. xz^2-7y>0 e xz^2-7yneq1,
  3. -5xy^3z+8xy^2z^4+3z^5-12neq0.

Resposta

O domínio de f é
l(x,y,z)inR^3,r|, 3x^5y^2-8x^4z^2-7yz+8>=0,; xz^2-7y>0,; xz^2-7yneq1,; -5xy^3z+8xy^2z^4+3z^5-12neq0 r

Exercícios relacionados