Encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a formula como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
x^2 y^prime prime+5 x y^prime+9 y=0 ; y1=x^3 ln x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma segunda solução de
x^2y'' + 5x,y' + 9y = 0
sabendo que uma solução é
y1(x) = x^3ln x
O método de redução de ordem exige que y1 seja de fato solução da EDO original.

Passo 2

Vamos checar se y1(x)=x^3ln x satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
y1' = 3x^2ln x + x^2,
y1'' = 6xln x + 5x

Passo 3

Substituindo em x^2y'' + 5x,y' + 9y:
x^2(6xln x +5x) ;+;5xl(3x^2ln x + x^2r);+;9,(x^3ln x)
=6x^3ln x +5x^3 ;+;15x^3ln x +5x^3;+;9x^3ln x
=(6+15+9),x^3ln x ;+;(5+5),x^3 =30,x^3ln x +10,x^3neq 0
Portanto y1 não satisfaz a EDO dada.

Passo 4

Como a “solução conhecida” y1 não satisfaz a equação original, não podemos aplicar redução de ordem nem outro método para obter uma segunda solução nesta formulação do problema.

Resposta

Não há como encontrar a segunda solução porque y1(x)=x^3ln x não é solução da equação diferencial fornecida.

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