Exercício 2.3. O problema de valor inicial e de fronteira para tempo negativo
é bem-posto no sentido de Hadamard? (Sugestão: determine a solução correspondente a
f(x)=1n sen n pi xL
onde
n in N .)
Passo 1
O problema é
Aqui queremos ver se a solução depende de
f de forma estável (Hadamard). A sugestão é tomar
resolver o problema e verificar se pequenas variações em
fn podem causar grandes variações em
u para
t<0 .
Passo 2
Usamos separação de variáveis. Procuramos modos da forma
Da equação
ut=K,uxx vem
com as condições de contorno
X(0)=X(L)=0 . Isso leva a
logo
lambda=-mu . Então
Os autovalores são
mun=(tfracnpiL)^2 e autofunções
sin(tfracnpi xL) .
Passo 3
Para o dado inicial
fn(x)=tfrac1nsin(tfracnpi xL) , só aparece o modo
n . Logo a solução é
Repare que para
t<0 temos
-t=|t| e então
que cresce exponencialmente em
n^2 .
Passo 4
Avaliamo-os normas supremo. Para o dado inicial
Mas fixando um
t0<0 ,
pois o fator exponencial domina
1/n . Assim, mesmo que
fnto0 , a solução em
t0<0 explode.
Passo 5
Isso mostra que pequenas perturbações em
f podem causar crescimento arbitrário em
u para
t<0 . Portanto o problema não é estável no sentido de Hadamard e não é bem‐posto.
Resposta
O problema não é bem‐posto no sentido de Hadamard.