Exercício 2.3. O problema de valor inicial e de fronteira para tempo negativo
ut=K ux x & se 0<x<L e t<0 u(0, t)=u(L, t)=0 & se t <= 0 u(x, 0)=f(x) & se 0 <= x <= L
é bem-posto no sentido de Hadamard? (Sugestão: determine a solução correspondente a
f(x)=1n sen n pi xL
onde n in N.)

Passo 1

O problema é
ut=K,uxx,&0<x<L,;t<0, u(0,t)=u(L,t)=0,&t<=0, u(x,0)=f(x),&0<= x<= L
Aqui queremos ver se a solução depende de f de forma estável (Hadamard). A sugestão é tomar
fn(x)=1nsin!l(tfracnpi xLr),
resolver o problema e verificar se pequenas variações em fn podem causar grandes variações em u para t<0.

Passo 2

Usamos separação de variáveis. Procuramos modos da forma
u(x,t)=X(x),T(t)
Da equação ut=K,uxx vem
T'K,T=X''X=lambda,
com as condições de contorno X(0)=X(L)=0. Isso leva a
X''+mu X=0, mu=(tfracnpiL)^2,
logo lambda=-mu. Então
T'(t)=-K,mu,T(t)Longrightarrow T(t)=expl(-Kmu,tr)
Os autovalores são mun=(tfracnpiL)^2 e autofunções sin(tfracnpi xL).

Passo 3

Para o dado inicial fn(x)=tfrac1nsin(tfracnpi xL), só aparece o modo n. Logo a solução é
un(x,t) =1n,expl(-K,(npi/L)^2,tr), sin!l(tfracnpi xLr)
Repare que para t<0 temos -t=|t| e então
expl(-K(npi/L)^2,tr) =expl(K(npi/L)^2,|t|r),
que cresce exponencialmente em n^2.

Passo 4

Avaliamo-os normas supremo. Para o dado inicial
|fn|infty=maxx|fn(x)|=1n,|,sin(cdot)|infty =1n;xrightarrow[ntoinfty]0
Mas fixando um t0<0,
|un(cdot,t0)|infty =1n,expl(K(npi/L)^2,|t0|r) ;xrightarrow[ntoinfty]infty,
pois o fator exponencial domina 1/n. Assim, mesmo que fnto0, a solução em t0<0 explode.

Passo 5

Isso mostra que pequenas perturbações em f podem causar crescimento arbitrário em u para t<0. Portanto o problema não é estável no sentido de Hadamard e não é bem‐posto.

Resposta

O problema não é bem‐posto no sentido de Hadamard.

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