Encontre a DTFT dos seguintes sinais: x(n)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq n \leq 4 \\\\ -1, & 5 \leq n \leq 9 \text { . }\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a DTFT do sinal discreto x(n)\) dado por
\[x(n)=\begin{cases} 1, & 0 \le n \le 4,\\[4pt] -1, & 5 \le n \le 9,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
As informações importantes que eu peguei do enunciado são:
\begin{aligned} &\text{Valores não nulos: } x(n)=1 \text{ para } n=0,1,2,3,4,\\\ &\phantom{\text{Valores não nulos: }} x(n)=-1 \text{ para } n=5,6,7,8,9,\\\ &\text{o sinal é nulo fora de } 0\le n\le 9.\\\ \end{aligned}ãé
A pergunta é: encontrar a transformada discreta de Fourier (DTFT) X(e^{j\omega})\] desse \(x(n). A resolução começa agora.]
Pequenas observações úteis para a prova (bem rápidas e práticas):
A forma racional \dfrac{(1-e^{-j5\omega})^{2}}{1-e^{-j\omega}} é direta e sai da soma geométrica — ótima para derivar rapidamente na prova.
A forma com senos mostra que X(e^{j\omega}) é finita e que em \omega=0 a expressão tem limite 0 (o somatório dos termos é 5-5=0). Se for preciso avaliar o valor em \omega onde há indeterminação, faça o limite usando aproximações de \sin.
Se você precisar do módulo |X(e^{j\omega})| para gabarito, use a forma com senos: |X|=2\left|\dfrac{\sin^{2}(5\omega/2)}{\sin(\omega/2)}\right|, já que |e^{-j9\omega/2}|=1 e |j|=1.