Encontre duas funções definidas implicitamente pelas relações abaixo.
x+|y|=1

Passo 1

O enunciado dá a relação
x + |y| = 1
e pede para encontrar duas funções y = f(x) que satisfaçam essa equação. O conteúdo aqui é a definição de valor absoluto e como escrever funções por partes.

Passo 2

Primeiro isolamos o valor absoluto:
|y| = 1 - x
Como |y|>=0, precisamos também que 1 - x>=0, ou seja, x<=1. A partir da definição de módulo, temos dois casos:
  1. Se y>=0, então |y|=y e a equação vira y = 1 - x
  2. Se y<=0, então |y|=-y e a equação vira -y = 1 - x Longrightarrow y = x - 1
Em ambos os casos a condição 1 - x>=0 impõe x<=1.

Passo 3

Concluímos que a relação x+|y|=1 é a união dos gráficos de duas funções definidas em x<=1:
f1(x) = 1 - x, f2(x) = x - 1,
sendo f1(x) a “ramo superior” ( y>=0) e f2(x) a “ramo inferior” ( y<=0).

Resposta

As duas funções são
y = 1 - x e y = x - 1,
ambas definidas para x<=1.

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