Quais das seguintes funções são homomorfismos? Se a função for um homomorfismo, qual é o kernel?
definida por
onde
é o grupo aditivo das matrizes
com entradas em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a função
definida de matrizes
com números reais para os reais é um homomorfismo. Se for, também precisamos encontrar o kernel dela. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre homomorfismos de grupos aditivos e kernels. Vamos precisar lembrar o que é um homomorfismo e como identificar o kernel de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos aditivos. Basicamente, uma função
entre dois grupos aditivos é um homomorfismo se ela respeita a operação de adição. Ou seja, para quaisquer duas matrizes
e
em
, a função precisa satisfazer:
Vamos verificar se isso acontece com a nossa função
.
Passo 3
Vamos considerar duas matrizes quaisquer em
:
A soma delas é:
Aplicando a função
nessa soma:
Agora, calculando
:
Como
, a função
respeita a operação de adição. Portanto,
é um homomorfismo de grupos aditivos.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o kernel de
. O kernel é o conjunto de todas as matrizes que são mapeadas para zero pela função
. Em outras palavras:
Aplicando a definição da
:
Então, o kernel consiste em todas as matrizes
onde o elemento
é zero. Podemos escrever isso como:
Resposta
A função
é um homomorfismo, e o kernel de
é o conjunto de todas as matrizes
com
, ou seja: