Quais das seguintes funções são homomorfismos? Se a função for um homomorfismo, qual é o kernel?
phi: M2(R) R definida por
phi((ll a & b c & d ))=b
onde M2(R) é o grupo aditivo das matrizes 2 times 2 com entradas em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a função phi definida de matrizes 2 times 2 com números reais para os reais é um homomorfismo. Se for, também precisamos encontrar o kernel dela. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre homomorfismos de grupos aditivos e kernels. Vamos precisar lembrar o que é um homomorfismo e como identificar o kernel de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos aditivos. Basicamente, uma função phi entre dois grupos aditivos é um homomorfismo se ela respeita a operação de adição. Ou seja, para quaisquer duas matrizes A e B em M2(R), a função precisa satisfazer:
phi(A + B) = phi(A) + phi(B)
Vamos verificar se isso acontece com a nossa função phi.

Passo 3

Vamos considerar duas matrizes quaisquer em M2(R):
A = a & b c & d , B = a' & b' c' & d'
A soma delas é:
A + B = a + a' & b + b' c + c' & d + d'
Aplicando a função phi nessa soma:
phi(A + B) = b + b'
Agora, calculando phi(A) + phi(B):
phi(A) + phi(B) = b + b'
Como phi(A + B) = phi(A) + phi(B), a função phi respeita a operação de adição. Portanto, phi é um homomorfismo de grupos aditivos.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o kernel de phi. O kernel é o conjunto de todas as matrizes que são mapeadas para zero pela função phi. Em outras palavras:
Ker(phi) = A in M2(R) mid phi(A) = 0
Aplicando a definição da phi:
phi( a & b c & d ) = b = 0
Então, o kernel consiste em todas as matrizes 2 times 2 onde o elemento b é zero. Podemos escrever isso como:
Ker(phi) = a & 0 c & d mid a, c, d in R

Resposta

A função phi é um homomorfismo, e o kernel de phi é o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com b = 0, ou seja:
Ker(phi) = a & 0 c & d mid a, c, d in R

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