Encontre duas soluções em série de potência linearmente independente em torno do ponto
:
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre duas soluções em série de potência linearmente independente em torno do ponto
" para a equação diferencial
Informações dadas: a equação linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais, e o ponto de expansão é
. O que se espera é obter duas séries de potência (duas soluções independentes) centradas em
.
Passo 2
Vamos procurar uma solução em série de potência geral centrada em
. Assumimos
onde os
são coeficientes a determinar e
serão as constantes livres (porque é uma EDO de segunda ordem). Agora calculamos as derivadas termoa termo (explico como fazer): derivar uma soma série é derivar cada termo
para obter
, então
Além disso,
, que também pode ser escrito como
lembrando que o termo
vale zero. Tudo isso serve para igualar potências de
.
Passo 3
Substituímos
na equação
Usando as séries obtidas:
Somando os dois últimos somatórios obtemos
. Como a soma das séries é zero para todo
, os coeficientes de
devem ser zero para todo
. Assim chegamos à relação de recorrência
Passo 4
A recorrência acima pode ser simplificada por
(que nunca é zero para
), obtendo
Isto significa que cada coeficiente com índice
é dado pelo coeficiente com índice
dividido por
. Como é uma recorrência de passo 2, os coeficientes pares dependem apenas de
e os ímpares dependem apenas de
. Vamos resolver separadamente as duas sequências.
Passo 5
Coeficientes pares: tome
. Escrevendo
,
O produto dos primeiros
números pares é
. Portanto
A série correspondente (solução com
livre e
, solução “par”) é
Reconhecemos a série exponencial, logo
(Exemplo numérico rápido para fixar:
etc.)
Passo 6
Coeficientes ímpares: tome
. Escrevendo
,
O produto
é o duplo fatorial
. Assim
A série correspondente (solução com
livre e
, solução “ímpar”) é
Alguns termos iniciais para sentir a série:
.
Passo 7
Podemos mostrar uma forma alternativa (útil para reconhecer a solução) para a solução ímpar usando redução de ordem. A equação em forma padrão é
com
. Tomando a solução conhecida
(aquela par obtida acima), a segunda solução por redução de ordem pode ser escrita como
Aqui
, então
. Substituindo
obtemos o integrando
. Portanto, escolhendo a constante de integração para ancorar em
,
Multiplicando a série de
pela série do integral termo a termo, obtém-se exatamente a série ímpar encontrada antes (com
apropriado). Note também que
é par e
é ímpar, então elas são linearmente independentes (funções de paridades diferentes não podem ser múltiplos escalares uma da outra).
Resposta
Observação equivalente em séries (normalizando constantes
):