Encontre duas soluções em série de potência linearmente independente em torno do ponto x=0 :
y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre duas soluções em série de potência linearmente independente em torno do ponto x=0" para a equação diferencial
y^{\prime\prime}-x y^{\prime}-y=0.
Informações dadas: a equação linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais, e o ponto de expansão é x=0. O que se espera é obter duas séries de potência (duas soluções independentes) centradas em 0.

Passo 2

Vamos procurar uma solução em série de potência geral centrada em 0. Assumimos
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes a determinar e a_0,a_1 serão as constantes livres (porque é uma EDO de segunda ordem). Agora calculamos as derivadas termoa termo (explico como fazer): derivar uma soma série é derivar cada termo a_n x^n para obter n a_n x^{n-1}, então
y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n},
y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.
Além disso, x y' = x\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n}=\sum_{m=1}^{\infty} m a_m x^m, que também pode ser escrito como \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^n lembrando que o termo n=0 vale zero. Tudo isso serve para igualar potências de x^n.

Passo 3

Substituímos y,y',y'' na equação
y'' - x y' - y = 0.
Usando as séries obtidas:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n} \;-\; \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n} \;-\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} \;=\;0.
Somando os dois últimos somatórios obtemos - (n+1)a_n. Como a soma das séries é zero para todo x, os coeficientes de x^n devem ser zero para todo n. Assim chegamos à relação de recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2} - (n+1)a_n = 0,\qquad n\ge 0.

Passo 4

A recorrência acima pode ser simplificada por (n+1) (que nunca é zero para n\ge0), obtendo
(n+2)\,a_{n+2} - a_n = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2}=\frac{a_n}{\,n+2\,},\qquad n\ge0.
Isto significa que cada coeficiente com índice n+2 é dado pelo coeficiente com índice n dividido por n+2. Como é uma recorrência de passo 2, os coeficientes pares dependem apenas de a_0 e os ímpares dependem apenas de a_1. Vamos resolver separadamente as duas sequências.

Passo 5

Coeficientes pares: tome n=0,2,4,\dots. Escrevendo n=2k,
a_{2(k+1)}=\frac{a_{2k}}{2k+2} \quad\Rightarrow\quad a_{2k}=\frac{a_0}{2\cdot4\cdot6\cdots(2k)}.
O produto dos primeiros k números pares é 2\cdot4\cdots(2k)=2^k k!. Portanto
a_{2k}=\frac{a_0}{2^k k!}.
A série correspondente (solução com a_0 livre e a_1=0, solução “par”) é
y_{\text{par}}=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k} x^{2k}=a_0\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{2^k k!} = a_0\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\frac{x^2}{2}\right)^k.
Reconhecemos a série exponencial, logo
y_{\text{par}} = a_0\, e^{x^2/2}.
(Exemplo numérico rápido para fixar: a_2=a_0/2,\; a_4=a_0/(2\cdot4)=a_0/(8), etc.)

Passo 6

Coeficientes ímpares: tome n=1,3,5,\dots. Escrevendo n=2k+1,
a_{2(k+1)+1}=\frac{a_{2k+1}}{2k+3} \quad\Rightarrow\quad a_{2k+1}=\frac{a_1}{1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1)}.
O produto 1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1) é o duplo fatorial (2k+1)!!. Assim
a_{2k+1}=\frac{a_1}{(2k+1)!!}.
A série correspondente (solução com a_1 livre e a_0=0, solução “ímpar”) é
y_{\text{ímpar}}=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1} = a_1\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!!}.í
Alguns termos iniciais para sentir a série: y_{\text{ímpar}}=a_1\big(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{3\cdot5}+\cdots\big)í.

Passo 7

Podemos mostrar uma forma alternativa (útil para reconhecer a solução) para a solução ímpar usando redução de ordem. A equação em forma padrão é y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 com P(x)=-x. Tomando a solução conhecida y_1=e^{x^2/2} (aquela par obtida acima), a segunda solução por redução de ordem pode ser escrita como
y_2 = y_1 \int^x \frac{e^{-\int P(t)\,dt}}{y_1(t)^2}\,dt.
Aqui \int P(t)\,dt = \int (-t)\,dt = -t^2/2, então e^{-\int P} = e^{t^2/2}. Substituindo y_1=e^{t^2/2} obtemos o integrando e^{t^2/2}/e^{t^2} = e^{-t^2/2}. Portanto, escolhendo a constante de integração para ancorar em 0,
y_2(x) = e^{x^2/2}\int_{0}^{x} e^{-t^2/2}\,dt.
Multiplicando a série de e^{x^2/2} pela série do integral termo a termo, obtém-se exatamente a série ímpar encontrada antes (com a_1 apropriado). Note também que y_{\text{par}} é par e y_{\text{ímpar}}í é ímpar, então elas são linearmente independentes (funções de paridades diferentes não podem ser múltiplos escalares uma da outra).

Resposta

y_1(x)=C_1\,e^{x^2/2}
y_2(x)=C_2\,\displaystyle e^{x^2/2}\int_{0}^{x} e^{-t^2/2}\,dt
Observação equivalente em séries (normalizando constantes C_1=1,C_2=1):
y_1=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k}}{2^k k!},\qquad y_2=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!!}.

Exercícios relacionados