Resolva estas equações diferenciais por meio de séries e então compare os resultados com as soluções obtidas por outras técnicas
y^{\prime \prime}+4 y=8 x+4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+4y=8x+4
por meio de séries de potências e, em seguida, comparar o resultado com o obtido por outras técnicas.
Informações dadas: o lado direito é o polinômio \;8x+4\;. Não foram dadas condições iniciais, então a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos assumir uma solução em série de potências centrada em 0:
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes desconhecidos que vamos determinar. Explico passo a passo as derivadas que precisamos:
y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}, \qquad y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}.
Troco o índice em y'' para escrever as potências como x^m com m=n-2. Fazendo m=n-2 obtemos
y''=\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)a_{m+2} x^{m}.
Também reescrevo y como série em x^m:
y=\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m}.
Explico: essa reindexação é só para que possamos comparar termo a termo as potências de x na equação diferencial.

Passo 3

Substituo as séries em \;y''+4y\;:
y''+4y=\sum_{m=0}^{\infty}\big[(m+2)(m+1)a_{m+2}+4a_m\big]x^{m}.
O lado direito da EDO é \;8x+4=\;4+8x+\;0x^2+0x^3+\cdots. Igualando coeficiente a coeficiente da potência x^m obtemos as equações para os coeficientes:
(m+2)(m+1)a_{m+2}+4a_m= \begin{cases} 4, & m=0,\\[4pt] 8, & m=1,\\[4pt] 0, & m\ge 2. \end{cases}]

Passo 4

Primeiros coeficientes (casos m=0 e m=1):
Para m=0:
2\cdot1\;a_2+4a_0=4 \quad\Rightarrow\quad 2a_2+4a_0=4 \quad\Rightarrow\quad a_2=2-2a_0.
Para m=1:
3\cdot2\;a_3+4a_1=8 \quad\Rightarrow\quad 6a_3+4a_1=8 \quad\Rightarrow\quad a_3=\frac{8-4a_1}{6}=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}a_1.
Para m\ge2 temos a recorrência homogênea
(m+2)(m+1)a_{m+2} + 4a_m = 0 \quad\Rightarrow\quad a_{m+2} = -\frac{4}{(m+2)(m+1)}\,a_m.

Passo 5

Observação importante sobre a recorrência: ela liga coeficientes com diferença de índice 2. Isso separa a sequência dos coeficientes em dois ramos independentes: os de índice par e os de índice ímpar. Vamos analisar cada ramo.
Ramo dos índices pares: defina b_k=a_{2k} para k\ge0. A recorrência para m=2k fica
b_{k+1}=a_{2k+2}=-\frac{4}{(2k+2)(2k+1)}\,a_{2k}=-\frac{4}{(2k+2)(2k+1)}\,b_k.
Aplicando essa fórmula repetidamente (produto de termos), obtemos por indução
b_k = a_0\prod_{j=0}^{k-1}\left(-\frac{4}{(2j+2)(2j+1)}\right) = a_0\frac{(-4)^k}{(2k)!}.
Como (-4)^k = (-1)^k 2^{2k}, escrevemos
a_{2k}=a_0\frac{(-1)^k 2^{2k}}{(2k)!},\qquad k\ge0.
Ramo dos índices ímpares: defina c_k=a_{2k+1} para k\ge0. A recorrência para m=2k+1
c_{k+1}=a_{2k+3}=-\frac{4}{(2k+3)(2k+2)}\,a_{2k+1}=-\frac{4}{(2k+3)(2k+2)}\,c_k.
Por produto análogo obtemos
c_k=a_1\prod_{j=0}^{k-1}\left(-\frac{4}{(2j+3)(2j+2)}\right)=a_1\frac{(-4)^k}{(2k+1)!}.
Portanto
a_{2k+1}=a_1\frac{(-1)^k 2^{2k}}{(2k+1)!},\qquad k\ge0.

Passo 6

Agora escrevo a série y separando as partes par e ímpar, usando as fórmulas acima:
y=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k} x^{2k} + \sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1}.
Substituindo a_{2k} e a_{2k+1}:
y=a_0\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2^{2k}}{(2k)!}x^{2k} + a_1\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2^{2k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}.
Reconhecemos as séries de Maclaurin das funções trigonométricas (aqui explico com calma):
A série de \cos é
\cos(2x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k (2x)^{2k}}{(2k)!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2^{2k}}{(2k)!}x^{2k}.
A série de \sin é
\sin(2x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k (2x)^{2k+1}}{(2k+1)!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k+1}.
Comparando os coeficientes vemos que a primeira soma é a_0\cos(2x). A segunda soma difere da série de \sin(2x) por um fator 2, porque a série de \sin(2x) tem 2^{2k+1} em vez de 2^{2k}. Assim
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2^{2k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}=\frac{1}{2}\sin(2x).
Portanto a solução a partir da parte homogênea + sequência de coeficientes é
y_{\text{hom+serie}}=a_0\cos(2x)+\frac{a_1}{2}\sin(2x).

Passo 7

Ainda precisamos incluir a contribuição particular da parte não homogênea (o polinômio 8x+4). Uma forma rápida de encontrar a solução particular é pelo método dos coeficientes indeterminados: suponha uma solução particular polinomial de grau \le 2,
y_p = Cx^2 + Dx + E.
Calculo as derivadas: y_p'' = 2C. Substituo em \;y''+4y=8x+4\;:
2C + 4(Cx^2+Dx+E) = 8x+4.
Comparando coeficientes de potências:
  • Coeficiente de x^2: 4C=0\Rightarrow C=0.
  • Coeficiente de x: 4D=8\Rightarrow D=2.
  • Coeficiente constante: 2C+4E=4\Rightarrow 0+4E=4\Rightarrow E=1.
    Logo a solução particular é
y_p=2x+1.

Passo 8

Assim a solução geral da EDO (soma da homogênea encontrada pela série mais a particular) é
y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+2x+1,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Relacionando com os coeficientes da série iniciais a_0 e a_1 (lembre que a_0=y(0) e a_1=y'(0)) temos a correspondência
C_1=a_0,\qquad C_2=\frac{a_1}{2}.
Verificação rápida: se você calcula y''+4y para y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+2x+1 obtém exatamente 8x+4, e as séries que derivamos coincidem com as séries de \cos(2x) e \sin(2x) multiplicadas pelas constantes, mais o polinômio particular.

Resposta

y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+2x+1
C_1=a_0,\;C_2=\dfrac{a_1}{2}

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