Resolva estas equações diferenciais por meio de séries e então compare os resultados com as soluções obtidas por outras técnicas y^{\prime \prime}+4 y=8 x+4
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+4y=8x+4
por meio de séries de potências e, em seguida, comparar o resultado com o obtido por outras técnicas.
Informações dadas: o lado direito é o polinômio \;8x+4\;. Não foram dadas condições iniciais, então a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Vamos assumir uma solução em série de potências centrada em 0:
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes desconhecidos que vamos determinar. Explico passo a passo as derivadas que precisamos:
y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}, \qquad y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}.
Troco o índice em y'' para escrever as potências como x^m com m=n-2. Fazendo m=n-2 obtemos
y''=\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)a_{m+2} x^{m}.
Também reescrevo y como série em x^m:
y=\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m}.
Explico: essa reindexação é só para que possamos comparar termo a termo as potências de x na equação diferencial.
O lado direito da EDO é \;8x+4=\;4+8x+\;0x^2+0x^3+\cdots. Igualando coeficiente a coeficiente da potência x^m obtemos as equações para os coeficientes:
Observação importante sobre a recorrência: ela liga coeficientes com diferença de índice 2. Isso separa a sequência dos coeficientes em dois ramos independentes: os de índice par e os de índice ímpar. Vamos analisar cada ramo.
Ramo dos índices pares: defina b_k=a_{2k} para k\ge0. A recorrência para m=2k fica
Comparando os coeficientes vemos que a primeira soma é a_0\cos(2x). A segunda soma difere da série de \sin(2x) por um fator 2, porque a série de \sin(2x) tem 2^{2k+1} em vez de 2^{2k}. Assim
Ainda precisamos incluir a contribuição particular da parte não homogênea (o polinômio 8x+4). Uma forma rápida de encontrar a solução particular é pelo método dos coeficientes indeterminados: suponha uma solução particular polinomial de grau \le 2,
y_p = Cx^2 + Dx + E.
Calculo as derivadas: y_p'' = 2C. Substituo em \;y''+4y=8x+4\;:
2C + 4(Cx^2+Dx+E) = 8x+4.
Comparando coeficientes de potências:
Coeficiente de x^2: 4C=0\Rightarrow C=0.
Coeficiente de x: 4D=8\Rightarrow D=2.
Coeficiente constante: 2C+4E=4\Rightarrow 0+4E=4\Rightarrow E=1.
Logo a solução particular é
y_p=2x+1.
Passo 8
Assim a solução geral da EDO (soma da homogênea encontrada pela série mais a particular) é
y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+2x+1,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Relacionando com os coeficientes da série iniciais a_0 e a_1 (lembre que a_0=y(0) e a_1=y'(0)) temos a correspondência
C_1=a_0,\qquad C_2=\frac{a_1}{2}.
Verificação rápida: se você calcula y''+4y para y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+2x+1 obtém exatamente 8x+4, e as séries que derivamos coincidem com as séries de \cos(2x) e \sin(2x) multiplicadas pelas constantes, mais o polinômio particular.