Use g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e determine:
Em uma região plana, um projétil é lançado do solo para cima, com velocidade de 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, em uma direção que faz 60^{\circ} com a horizontal. Calcule o alcance atingido por esse projétil.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o alcance atingido por um projétil lançado do solo para cima. As informações dadas são:
v_0 = 400\\ \mathrm{m/s},\qquad \theta = 60^\circ,\qquad g = 10\\ \mathrm{m/s^2}.
A pergunta é: qual é o alcance horizontal R (distância no solo entre o ponto de lançamento e o ponto de impacto)?

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Se \theta é o ângulo com a horizontal, então as componentes são
v_{0x} = v_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.
Aqui \cos\theta e \sin\theta são as razões trigonométricas do ângulo. Para \theta=60^\circ sabemos que
\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2},\qquad \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo:
v_{0x} = 400\cdot\tfrac{1}{2} = 200\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = 400\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

A equação do movimento vertical (considerando para cima positivo) é
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2}.
O projétil retorna ao solo quando y(t)=0. Isso dá
0 = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2} g t^{2} = t\bigl(v_{0y}-\tfrac{1}{2}g t\bigr).
As soluções são t=0 (instante inicial) e a outra raiz
t_{\text{voo}} = \frac{2v_{0y}}{g}.
Aqui t_{\text{voo}} é o tempo total de voo (tempo entre lançamento e impacto).

Passo 4

Substituindo v_{0y}=200\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}},
t_{\text{voo}} = \frac{2\cdot 200\sqrt{3}}{10} = \frac{400\sqrt{3}}{10} = 40\sqrt{3}\\ \mathrm{s}.
Como referência numérica, \sqrt{3}\approx 1,73205, então t_{\text{voo}}\approx 40\cdot1,73205\approx 69,28\\ \mathrm{s}.

Passo 5

O alcance horizontal R é a componente horizontal da velocidade vezes o tempo de voo, porque não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar):
R = v_{0x}\,t_{\text{voo}}.
Substituindo v_{0x}=200\\ \mathrm{m/s} e t_{\text{voo}}=40\sqrt{3}\\ \mathrm{s},
R = 200\cdot 40\sqrt{3} = 8000\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Podemos também usar a fórmula padrão do alcance em terreno plano
R = \frac{v_0^{2}\sin(2\theta)}{g},
que se obtém diretamente da decomposição acima (usei essa relação implicitamente). Para \theta=60^\circ temos \sin(2\theta)=\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim
R=\frac{400^{2}\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{10}=\frac{160000\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{10}=8000\sqrt{3}\\ \mathrm{m},
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Fazendo a aproximação numérica com \sqrt{3}\approx 1,73205,
R \approx 8000\cdot 1,73205 \approx 13\,856{,}4\\ \mathrm{m}\approx 13{,}86\\ \mathrm{km}.

Resposta

8000\sqrt{3}\\ \mathrm{m}
\approx 13\,856{,}4\\ \mathrm{m}

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