Encontre dy/dx por diferenciação implícita.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando diferenciação implícita. A equação que temos é $ x y - 2 x = y + 7 $. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a técnica de diferenciação implícita, que é útil quando $ y $ está misturado com $ x $ de forma que não dá para isolar $ y $ facilmente. Precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $ e depois resolver para $ \frac{dy}{dx} $.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação $ x y - 2 x = y + 7 $ em relação a $ x $. Lembre-se que $ y $ é uma função de $ x $, então quando derivamos termos que envolvem $ y $, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 3
Derivando o primeiro termo $ x y $ usando a regra do produto:
Aqui, derivamos $ x $ que dá 1 vezes $ y $, mais $ x $ vezes a derivada de $ y $ que é $ \frac{dy}{dx} $.
Passo 4
Derivando o segundo termo $ -2x $:
A derivada de $ x $ é 1, então multiplicamos por -2.
Passo 5
Derivando o lado direito $ y + 7 $:
A derivada de $ y $ é $ \frac{dy}{dx} $ e a derivada de uma constante é 0.
Passo 6
Agora, juntando tudo que derivamos, temos:
Vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $.
Passo 7
Subtraindo $ \frac{dy}{dx} $ de ambos os lados:
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 8
Isolando $ \frac{dy}{dx} $:
Dividindo ambos os lados por $ x - 1 $: