Encontre dy/dx por diferenciação implícita.
x y-2 x=y+7

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando diferenciação implícita. A equação que temos é $ x y - 2 x = y + 7 $. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a técnica de diferenciação implícita, que é útil quando $ y $ está misturado com $ x $ de forma que não dá para isolar $ y $ facilmente. Precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $ e depois resolver para $ \frac{dy}{dx} $.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação $ x y - 2 x = y + 7 $ em relação a $ x $. Lembre-se que $ y $ é uma função de $ x $, então quando derivamos termos que envolvem $ y $, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Derivando o primeiro termo $ x y $ usando a regra do produto:
x y
Aqui, derivamos $ x $ que dá 1 vezes $ y $, mais $ x $ vezes a derivada de $ y $ que é $ \frac{dy}{dx} $.

Passo 4

Derivando o segundo termo $ -2x $:
-2x
A derivada de $ x $ é 1, então multiplicamos por -2.

Passo 5

Derivando o lado direito $ y + 7 $:
y + 7
A derivada de $ y $ é $ \frac{dy}{dx} $ e a derivada de uma constante é 0.

Passo 6

Agora, juntando tudo que derivamos, temos:
y + x dydx - 2 = dydx
Vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $.

Passo 7

Subtraindo $ \frac{dy}{dx} $ de ambos os lados:
dydx
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
y + x dydx - 2 - dydx = 0

Passo 8

Isolando $ \frac{dy}{dx} $:
dydx
Dividindo ambos os lados por $ x - 1 $:
dydx(x - 1) = - (y - 2)

Resposta

dydx = 2 - yx - 1

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