Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
q(x)=x^3(x^3-3 x)^11(2 x-x^3)^5

Passo 1

Neste exercício queremos derivar a função q(x)=x^3(x^3-3x)^11(2x - x^3)^5 usando diferenciação logarítmica. O conteúdo da matéria envolve a regra do logaritmo de produto, a regra de potência e a regra da cadeia.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade para simplificar as potências:
lnl(q(x)r)=lnl(x^3r)+11lnl(x^3-3xr)+5lnl(2x-x^3r)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x, usando que ddxln(f(x))=f'(x)f(x):
$$
\frac{q’(x)}{q(x)}=\frac{3}{x}+11\frac{3x{2}-3}{x{3}-3x}+5\frac{2-3x{2}}{2x-x{3}}$$

Passo 4

Isolando q'(x) e retornando à expressão original de q(x), obtemos:
q'(x)=x^3(x^3-3x)^11(2x-x^3)^5l(3x+113x^2-3x^3-3x+52-3x^22x-x^3r)

Resposta

q’(x)=x{3}(x{3}-3x){11}(2x-x{3}){5}\Bigl(\frac{3}{x}+11\frac{3x{2}-3}{x{3}-3x}+5\frac{2-3x{2}}{2x-x^{3}}\Bigr)

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