Quais das equações diferenciais a seguir possui como solução geral
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Nenhuma das demais alternativas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de equações diferenciais! A gente precisa descobrir qual das equações diferenciais listadas tem como solução geral $ y = c_{1} e^{-\frac{t}{2}} + c_{2} e^{-2 t} $. Para isso, vamos usar o que sabemos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma $ y = c_{1} e^{r_1 t} + c_{2} e^{r_2 t} $, onde $ r_1 $ e $ r_2 $ são as raízes da equação característica associada.
Passo 3
Olhando para a solução dada $ y = c_{1} e^{-\frac{t}{2}} + c_{2} e^{-2 t} $, identificamos que as raízes da equação característica são $ r_1 = -\frac{1}{2} $ e $ r_2 = -2 $.
Passo 4
Agora, montamos a equação característica usando essas raízes:
Multiplicando os termos:
Passo 5
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Essa é a equação característica correspondente à nossa solução.
Passo 6
Agora, sabemos que a equação diferencial associada a essa equação característica é:
Onde $ y’’ $ é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $.
Resposta
A equação diferencial que possui a solução geral $ y = c_{1} e^{-\frac{t}{2}} + c_{2} e^{-2 t} $ é:
$ 2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+2 y=0 $