Quais das equações diferenciais a seguir possui como solução geral
y=c1 e^-t2+c2 e^-2 t
Escolha uma opção:
2 y^prime prime+5 y^prime+2 y=0
y^prime prime+3 y^prime+2 y=0
y^prime prime-y^prime-6 y=0
y^prime prime+2 y^prime-3 y=0
Nenhuma das demais alternativas
6 y^prime prime-y^prime-y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de equações diferenciais! A gente precisa descobrir qual das equações diferenciais listadas tem como solução geral $ y = c_{1} e^{-\frac{t}{2}} + c_{2} e^{-2 t} $. Para isso, vamos usar o que sabemos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma $ y = c_{1} e^{r_1 t} + c_{2} e^{r_2 t} $, onde $ r_1 $ e $ r_2 $ são as raízes da equação característica associada.

Passo 3

Olhando para a solução dada $ y = c_{1} e^{-\frac{t}{2}} + c_{2} e^{-2 t} $, identificamos que as raízes da equação característica são $ r_1 = -\frac{1}{2} $ e $ r_2 = -2 $.

Passo 4

Agora, montamos a equação característica usando essas raízes:
(r - r1)(r - r2) = 0 implies (r + 12)(r + 2) = 0
Multiplicando os termos:
r^2 + 2r + 12r + 1 = r^2 + 52r + 1 = 0

Passo 5

Para simplificar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar a fração:
2r^2 + 5r + 2 = 0
Essa é a equação característica correspondente à nossa solução.

Passo 6

Agora, sabemos que a equação diferencial associada a essa equação característica é:
2y'' + 5y' + 2y = 0
Onde $ y’’ $ é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $.

Resposta

A equação diferencial que possui a solução geral $ y = c_{1} e^{-\frac{t}{2}} + c_{2} e^{-2 t} $ é:
$ 2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+2 y=0 $

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