Encontre dy/dx no ponto dado.
(t^3, t^2-1), t=-4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $, no ponto dado pela parametrização $ \left(t^{3}, t^{2}-1\right) $ quando $ t = -4 $. Estamos lidando com derivadas paramétricas aqui, então vamos precisar usar as regras de derivação para funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos funções paramétricas $ x(t) $ e $ y(t) $, a derivada $ \frac{dy}{dx} $ pode ser encontrada usando a fórmula:
x(t)
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de $ y $ e $ x $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Temos:
dxdt
dydt

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da derivada paramétrica:
dydx = 2t3t^2 = 23t

Passo 5

Precisamos encontrar o valor de $ \frac{dy}{dx} $ quando $ t = -4 $. Substituindo na expressão:
dydx

Resposta

A derivada $ \frac{dy}{dx} $ no ponto dado é $ -\frac{1}{6} $.

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