Encontre
no ponto dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $, no ponto dado pela parametrização $ \left(t^{3}, t^{2}-1\right) $ quando $ t = -4 $. Estamos lidando com derivadas paramétricas aqui, então vamos precisar usar as regras de derivação para funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos funções paramétricas $ x(t) $ e $ y(t) $, a derivada $ \frac{dy}{dx} $ pode ser encontrada usando a fórmula:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de $ y $ e $ x $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Temos:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da derivada paramétrica:
Passo 5
Precisamos encontrar o valor de $ \frac{dy}{dx} $ quando $ t = -4 $. Substituindo na expressão:
Resposta
A derivada $ \frac{dy}{dx} $ no ponto dado é $ -\frac{1}{6} $.