Encontre dy/dx no ponto dado.
(s^-1-3s, s^3), s=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos $ \frac{dy}{dx} $ num ponto específico de uma curva definida pelas funções paramétricas $ x(s) = s^{-1} - 3s $ e $ y(s) = s^{3} $. Vamos usar cálculo diferencial para resolver isso, especialmente derivadas de funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, lembrando que quando temos funções paramétricas, ou seja, $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro $ s $, a derivada $ \frac{dy}{dx} $ pode ser encontrada usando a regra:
x
Então, precisamos calcular $ \frac{dy}{ds} $ e $ \frac{dx}{ds} $.

Passo 3

Vamos começar derivando $ y(s) = s^{3} $ em relação a $ s $:
y(s) = s^3
Isso foi simples, usando a regra de potência.

Passo 4

Agora, vamos derivar $ x(s) = s^{-1} - 3s $ em relação a $ s $:
x(s) = s^-1 - 3s
Aqui, usamos a regra de potência novamente para $ s^{-1} $ e a constante permanece.

Passo 5

Agora que temos $ \frac{dy}{ds} = 3s^{2} $ e $ \frac{dx}{ds} = -s^{-2} - 3 $, vamos montar a fração para $ \frac{dy}{dx} $:
dyds = 3s^2

Passo 6

Simplificando a expressão acima:
dydx = 3s^2-1s^2 - 3 = 3s^2-1 + 3s^2s^2 = 3s^4-(1 + 3s^2) = -3s^41 + 3s^2

Passo 7

Agora, vamos substituir $ s = -1 $ na expressão simplificada de $ \frac{dy}{dx} $:
s = -1

Resposta

Então, $ \frac{dy}{dx} $ no ponto dado é $ -\frac{3}{4} $.

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