Encontre
no ponto dado.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos $ \frac{dy}{dx} $ num ponto específico de uma curva definida pelas funções paramétricas $ x(s) = s^{-1} - 3s $ e $ y(s) = s^{3} $. Vamos usar cálculo diferencial para resolver isso, especialmente derivadas de funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, lembrando que quando temos funções paramétricas, ou seja, $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro $ s $, a derivada $ \frac{dy}{dx} $ pode ser encontrada usando a regra:
Então, precisamos calcular $ \frac{dy}{ds} $ e $ \frac{dx}{ds} $.
Passo 3
Vamos começar derivando $ y(s) = s^{3} $ em relação a $ s $:
Isso foi simples, usando a regra de potência.
Passo 4
Agora, vamos derivar $ x(s) = s^{-1} - 3s $ em relação a $ s $:
Aqui, usamos a regra de potência novamente para $ s^{-1} $ e a constante permanece.
Passo 5
Agora que temos $ \frac{dy}{ds} = 3s^{2} $ e $ \frac{dx}{ds} = -s^{-2} - 3 $, vamos montar a fração para $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 6
Simplificando a expressão acima:
Passo 7
Agora, vamos substituir $ s = -1 $ na expressão simplificada de $ \frac{dy}{dx} $:
Resposta
Então, $ \frac{dy}{dx} $ no ponto dado é $ -\frac{3}{4} $.