Encontre uma parametrização do ramo direito (x>0) da hipérbole
(xa)^2-(yb)^2=1
usando cosh t e sinh t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma parametrização do ramo direito da hipérbole dada por
(xa)^2 - (yb)^2 = 1
usando as funções hiperbólicas cosh t e sinh t. A matéria envolvida aqui é a parametrização de curvas, especificamente hipérboles, e vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Basicamente, é uma maneira de descrever as coordenadas de pontos em uma curva usando um parâmetro, que nesse caso vamos chamar de t. Assim, teremos x(t) e y(t) que, dependendo do valor de t, nos dão os pontos na hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos falar das funções hiperbólicas cosh t e sinh t. Elas são parecidas com as funções trigonométricas cosseno e seno, mas para hipérbolas. As definições são:
cosh t = e^t + e^-t2
sinh t = e^t - e^-t2
Essas funções têm a propriedade importante de que:
cosh^2 t - sinh^2 t = 1

Passo 4

Vamos usar essa propriedade das funções hiperbólicas para ajudar na parametrização. Observando a equação da hipérbole:
(xa)^2 - (yb)^2 = 1
Perceba que ela se parece muito com a identidade das funções hiperbólicas. Isso nos dá uma pista de como escolher x(t) e y(t).

Passo 5

Para fazer as coisas funcionarem, vamos escolher:
xa = cosh t
E
yb = sinh t
Isso significa que:
x = a cosh t
y = b sinh t

Passo 6

Vamos verificar se essa parametrização realmente satisfaz a equação da hipérbole. Substituindo x e y:
(a cosh ta)^2 - (b sinh tb)^2 = cosh^2 t - sinh^2 t = 1
Como cosh^2 t - sinh^2 t = 1, a equação é satisfeita. Portanto, nossa parametrização está correta.

Resposta

A parametrização do ramo direito (x > 0) da hipérbole é
x = a cosh t e y = b sinh t

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