Encontre uma parametrização do ramo direito
da hipérbole
usando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma parametrização do ramo direito da hipérbole dada por
usando as funções hiperbólicas
e
. A matéria envolvida aqui é a parametrização de curvas, especificamente hipérboles, e vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Basicamente, é uma maneira de descrever as coordenadas de pontos em uma curva usando um parâmetro, que nesse caso vamos chamar de
. Assim, teremos
e
que, dependendo do valor de
, nos dão os pontos na hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos falar das funções hiperbólicas
e
. Elas são parecidas com as funções trigonométricas cosseno e seno, mas para hipérbolas. As definições são:
Essas funções têm a propriedade importante de que:
Passo 4
Vamos usar essa propriedade das funções hiperbólicas para ajudar na parametrização. Observando a equação da hipérbole:
Perceba que ela se parece muito com a identidade das funções hiperbólicas. Isso nos dá uma pista de como escolher
e
.
Passo 5
Para fazer as coisas funcionarem, vamos escolher:
E
Isso significa que:
Passo 6
Vamos verificar se essa parametrização realmente satisfaz a equação da hipérbole. Substituindo
e
:
Como
, a equação é satisfeita. Portanto, nossa parametrização está correta.
Resposta
A parametrização do ramo direito
da hipérbole é