Encontre dy/dx no ponto dado.
(e^t, t^2), t=1.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um exercício que pede para encontrar a derivada $ \frac{dy}{dx} $ em um ponto específico. A gente está lidando com funções paramétricas, onde as coordenadas $ x $ e $ y $ são dadas em termos de um parâmetro $ t $. No caso, temos $ x = e^{t} $ e $ y = t^{2} $, e precisamos achar $ \frac{dy}{dx} $ quando $ t = 1 $. Vamos precisar entender como derivar funções paramétricas e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos funções paramétricas, a derivada $ \frac{dy}{dx} $ pode ser encontrada usando a fórmula:
dydx
Ou seja, derivamos $ y $ em relação a $ t $ e dividimos pela derivada de $ x $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos começar calculando $ \frac{dy}{dt} $. Sabemos que $ y = t^{2} $, então derivando em relação a $ t $:
dydt

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $. Dado que $ x = e^{t} $, a derivada de $ e^{t} $ em relação a $ t $ é simplesmente $ e^{t} $:
dxdt

Passo 5

Com as duas derivadas em mãos, vamos aplicar a fórmula da derivada paramétrica:
dydx = dydtdxdt = 2te^t

Passo 6

Agora, basta substituir $ t = 1 $ na expressão que encontramos:
t = 1

Resposta

A derivada $ \frac{dy}{dx} $ no ponto dado é $ \frac{2}{e} $.

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