Encontre dy/dx no ponto dado.
(sin 2theta, cos 3theta), theta=pi/6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar $ \frac{dy}{dx} $ no ponto dado dydx quando (sin 2theta, cos 3theta). Esse problema está relacionado com o cálculo de derivadas de funções paramétricas. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar theta = pi6 em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos funções paramétricas, onde x e y são ambas funções de um terceiro parâmetro, nesse caso theta, a derivada dydx pode ser encontrada usando a fórmula:
dydx = dydthetadxdtheta
Então, precisamos calcular dydtheta e dxdtheta.

Passo 3

Vamos derivar x = sin 2theta em relação a theta:
dxdtheta = ddtheta (sin 2theta) = 2cos 2theta
Aqui usamos a regra da derivada da função composta: a derivada de sin u é cos u multiplicada pela derivada de u. Neste caso, u = 2theta, então a derivada é 2cos 2theta.

Passo 4

Agora, vamos derivar y = cos 3theta em relação a theta:
dydtheta = ddtheta (cos 3theta) = -3sin 3theta
Aqui, novamente usamos a regra da derivada da função composta: a derivada de cos u é -sin u multiplicada pela derivada de u. Neste caso, u = 3theta, então a derivada é -3sin 3theta.

Passo 5

Agora que temos dxdtheta e dydtheta, podemos substituir na fórmula da derivada paramétrica:
dydx = -3sin 3theta2cos 2theta

Passo 6

Precisamos calcular essa derivada no ponto onde theta = pi6. Vamos substituir theta por pi6:
dydxg|theta = pi6 = -3sin (3 cdot pi6)2cos (2 cdot pi6) = -3sin (pi2)2cos (pi3)

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas:
sin (pi2) = 1 e cos (pi3) = 12
Substituindo esses valores na expressão:
dydxg|theta = pi6 = -3 cdot 12 cdot 12 = -31 = -3

Resposta

dydx = -3 no ponto dado.

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