Encontre
no ponto dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar $ \frac{dy}{dx} $ no ponto dado
quando
. Esse problema está relacionado com o cálculo de derivadas de funções paramétricas. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos funções paramétricas, onde
e
são ambas funções de um terceiro parâmetro, nesse caso
, a derivada
pode ser encontrada usando a fórmula:
Então, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
Aqui usamos a regra da derivada da função composta: a derivada de
é
multiplicada pela derivada de
. Neste caso,
, então a derivada é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui, novamente usamos a regra da derivada da função composta: a derivada de
é
multiplicada pela derivada de
. Neste caso,
, então a derivada é
.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos substituir na fórmula da derivada paramétrica:
Passo 6
Precisamos calcular essa derivada no ponto onde
. Vamos substituir
por
:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas:
Substituindo esses valores na expressão: