Encontre dy/dx.
y=x^x

Passo 1

Temos a função y = x^x. O conteúdo aqui é derivação de uma função em que a variável aparece tanto na base quanto no expoente, e vamos usar o artifício da log-diferenciação.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural nos dois lados para simplificar a potência. Fica:
ln y = ln(x^x) = x ln x

Passo 3

Diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, ddx[ln y] = 1ydydx. No direito, usamos regra do produto em xln x:
1ydydx = 1 cdot ln x + x cdot 1x = ln x + 1

Passo 4

Isolamos dydx multiplicando ambos os lados por y = x^x. Assim:
dydx = yl(ln x + 1r) = x^xl(ln x + 1r)

Resposta

dydx = x^xl(ln x + 1r)

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