Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
g(x)=(x^2-x)^3(sen x-1)^2

Passo 1

A função dada é g(x)=(x^2-x)^3(sin x -1)^2. O conteúdo aqui é diferenciação logarítmica, que consiste em tomar o logaritmo natural de ambos os lados para transformar produtos e quocientes em somas e diferenças, facilitando a derivação. Vamos precisar também das regras de derivada de ln u, de sin x e de funções polinomiais.

Passo 2

Tomamos o logaritmo de g(x):
ln g(x)=lnl((x^2-x)^3r)-lnl((sin x-1)^2r) =3ln(x^2-x)-2ln(sin x-1)
Derivando ambos os lados em relação a x, usando tfracddx[ln u]=tfracu'u:
g'(x)g(x)=3cdot2x-1x^2-x-2cdotcos xsin x-1

Passo 3

Isolamos g'(x) multiplicando os dois lados por g(x)=(x^2-x)^3(sin x-1)^2 e então simplificamos:\
g'(x)=(x^2-x)^3(sin x-1)^2l(32x-1x^2-x-2cos xsin x-1r) =3(x^2-x)^2(2x-1)(sin x-1)^2-2(x^2-x)^3cos x(sin x-1)^3

Resposta

g'(x)=3(x^2-x)^2(2x-1)(sin x-1)^2-2(x^2-x)^3cos x(sin x-1)^3

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