Encontre dy/dx.
y=(tg x)^sec x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = (tg x)^(sec x), ou seja, temos uma função potência em que a base e o expoente são funções de x. O conteúdo aqui é “diferenciação de f(x)^{g(x)}”, e vamos usar diferenciação logarítmica para transformar a potência variável em produto.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a diferenciação. Como ln e exponenciação são operações inversas, temos

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, d(ln y)/dx = y'/y. No lado direito, usamos a regra do produto em u=sec x e :
  • v=ln(tg x)

  • Logo,

Passo 4

Isolamos y’ multiplicando ambos os lados por y e, em seguida, substituímos y = (tg x)^(sec x). Assim chegamos a
e finalmente

Passo 5

Substituindo y de volta, a derivada fica:

Resposta

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