Encontre dy/dx.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de y = (tg x)^(sec x), ou seja, temos uma função potência em que a base e o expoente são funções de x. O conteúdo aqui é “diferenciação de f(x)^{g(x)}”, e vamos usar diferenciação logarítmica para transformar a potência variável em produto.
Passo 2
Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a diferenciação. Como ln e exponenciação são operações inversas, temos
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo,
. No lado direito, usamos a regra do produto em
e :
-
Logo,
Passo 4
Isolamos y’ multiplicando ambos os lados por y e, em seguida, substituímos y = (tg x)^(sec x). Assim chegamos a
e finalmente
Passo 5
Substituindo y de volta, a derivada fica: