Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
r(x)=raiz(2 x-1)^3(cotg x-1)^2raiz[2]x(e^x+e^-x)^7

Passo 1

O enunciado pede para calcular r’(x) da função
r(x)=raiz(2x-1)^3,(cot x-1)^2raizx,(e^x+e^-x)^7
usando diferenciação logarítmica. Vamos precisar da regra da cadeia, da derivada de ln, de cot x e de funções exponenciais.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de r(x). Assim,
ln r(x)=lnl((2x-1)^3/2r)+lnl((cot x-1)^2r)-lnl(x^1/2r)-lnl((e^x+e^-x)^7r)
Simplificando os expoentes, fica
ln r(x)=tfrac32ln(2x-1)+2ln(cot x-1)-tfrac12ln x-7ln(e^x+e^-x)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo vem . No direito, aplicamos derivada de r'/r e regra da cadeia:
Observe que ln e r'(x)r(x)=32cdot22x-1+2cdot-csc^2 xcot x-1-tfrac12cdot1x-7cdote^x-e^-xe^x+e^-x .

Passo 4

Simplificamos o primeiro termo: tfrac32cdottfrac22x-1=tfrac32x-1. Logo,

Passo 5

Para obter , multiplicamos ambos os lados por r'(x). Assim,
r(x)

Resposta

r’(x)=\frac{\sqrt{(2x-1)^3}(\cot x-1)2}{\sqrt{x},(ex+e{-x})7}\left[\frac{3}{2x-1}-\frac{2\csc^2 x}{\cot x-1}-\frac{1}{2x}-7\frac{ex-e{-x}}{ex+e{-x}}\right]

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