Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular r’(x) da função
usando diferenciação logarítmica. Vamos precisar da regra da cadeia, da derivada de
, de
e de funções exponenciais.
Passo 2
Tomamos o logaritmo natural de
. Assim,
Simplificando os expoentes, fica
Passo 3
Derivamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo vem . No direito, aplicamos derivada de
e regra da cadeia:
Observe que
e
.
Passo 4
Simplificamos o primeiro termo:
. Logo,
Passo 5
Para obter , multiplicamos ambos os lados por
. Assim,
Resposta
r’(x)=\frac{\sqrt{(2x-1)^3}(\cot x-1)2}{\sqrt{x},(ex+e{-x})7}\left[\frac{3}{2x-1}-\frac{2\csc^2 x}{\cot x-1}-\frac{1}{2x}-7\frac{ex-e{-x}}{ex+e{-x}}\right]