Encontre uma edo y^prime prime+a y^prime+b y=0 para cada base.
e^(1-i) t, e^(1+i) t

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + a,y' + b,y = 0
cuja base de soluções é formada por e^(1 - i)t e e^(1 + i)t. Vamos usar o método da equação característica para raízes complexas.

Passo 2

Assumimos solução da forma y=e^rt. Então a equação característica é
r^2 + a,r + b = 0
e sabemos que suas raízes são
r1 = 1 - i, r2 = 1 + i

Passo 3

O polinômio característico com essas raízes é dado por
(r - r1)(r - r2) = (r - (1 - i))(r - (1 + i)) = 0

Passo 4

Expandindo esse produto:
(r - 1 + i)(r - 1 - i) = (r - 1)^2 - (i)^2 = (r - 1)^2 + 1 = r^2 - 2r + 1 + 1 = r^2 - 2r + 2

Passo 5

Comparando com r^2 + a,r + b = 0, obtemos
a = -2, b = 2

Passo 6

Logo, a equação diferencial desejada é
y'' - 2,y' + 2,y = 0,
ou seja, na forma y'' + a,y' + b,y=0:
y'' + (-2),y' + 2,y = 0

Resposta

y'' - 2,y' + 2,y = 0

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