Questão 3

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Todos os números naturais n que quando divididos por 17 deixam resto 4 e quando divididos por 15 deixam resto 6, são da forma

Escolha uma opção:

a. n=21+250 k, k natural e maior que 1 .
b. n=21+255 k, k inteiro maior ou igual que 0 .
c. n=-21+255 k, k inteiro e maior ou igual que 0 .
d. n=21-255 k, k sendo qualquer inteiro

Passo 1

O enunciado pede todos os naturais n tais que
n equiv 4 pmod17 e n equiv 6 pmod15
Este é um problema de Teorema Chinês dos Restos, pois 17 e 15 são coprimos e a solução será única módulo 17cdot15=255.

Passo 2

Da primeira congruência escrevemos
n = 4 + 17a,
onde a é um inteiro a determinar.

Passo 3

Substituindo em n equiv 6 pmod15, temos
4 + 17a equiv 6 pmod15 Longrightarrow 17a equiv 2 pmod15

Passo 4

Como 17 equiv 2 pmod15, a congruência vira
2a equiv 2 pmod15
Como gcd(2,15)=1, podemos dividir ambos os lados por 2, obtendo
a equiv 1 pmod15

Passo 5

Logo a = 1 + 15k, com kinZ. Voltando a n,
n = 4 + 17(1 + 15k) = 4 + 17 + 255k = 21 + 255k

Passo 6

Como queremos n natural, basta tomar k>=0. Assim todos os n validados são
n = 21 + 255k, k=0,1,2,dots
Isso coincide com a opção (b).

Resposta

(b)

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