Encontre uma EDO y^prime prime+p y^prime+q y=0, p, q constantes, para a base dada.
a) e^2 x ; e^x( Resp. y^prime prime-3 y^prime+2 y=0)
b) e^x raiz3 ; x e^x raiz3( Resp. y^prime prime-2 raiz3 y^prime+3 y=0)
c) e^4 x ; e^-4 x(Resp y^prime prime-16 y=0)

Passo 1

O exercício pede para encontrar uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
cuja forma é
r^2 + p r + q = 0
de modo que suas soluções fundamentais (base da solução geral) sejam as funções dadas. Vamos usar a relação entre as raízes da equação característica e as soluções do tipo e^r x.

Passo 2

Para o item (a), as soluções fundamentais são e^2x e e^x. Isso indica raízes distintas r1 = 2 e r2 = 1. A equação característica é dada por
r^2 - (r1 + r2)r + r1 r2 = 0 ,
ou seja,
r^2 - 3r + 2 = 0
Logo a EDO é y'' - 3y' + 2y = 0.

Passo 3

Para o item (b), as soluções fundamentais são e^xraiz3 e x e^xraiz3. Isso caracteriza uma raiz dupla r = raiz3. A equação característica é
(r - raiz3)^2 = 0 ,
isto é,
r^2 - 2raiz3,r + 3 = 0
Portanto a EDO é y'' - 2raiz3,y' + 3y = 0.

Passo 4

Para o item ©, as soluções fundamentais são e^4x e e^-4x, indicando raízes r1 = 4 e r2 = -4. A equação característica fica
r^2 - (r1 + r2)r + r1 r2 = r^2 - 0,r - 16 = 0,
ou seja,
r^2 - 16 = 0
Logo a EDO é y'' - 16y = 0.

Resposta

a) y’’ - 3y’ + 2y = 0; b) y’’ - 2\sqrt{3} y’ + 3y = 0; c) y’’ - 16y = 0

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