As seguintes funções são Linearmente independentes no intervalo dado?
a) (Resp. sim );
b) qualquer intervalo (Resp. sim se );
c) (Resp. não );
d) (Resp. não );
Passo 1
Vamos verificar a independência linear de cada par de funções usando o Wronskiano e, quando for mais rápido, observando relações óbvias de proporcionalidade.
Passo 2
Para (a) f₁(x)=x e f₂(x)=x ln(x) no intervalo 0<x<10 definimos o Wronskiano:
Como x≠0 em (0,10), temos W(x)≠0 e são linearmente independentes.
Passo 3
Para (b) f₁(x)=e^{ax} e f₂(x)=e^{-ax} em qualquer intervalo, calculamos
W(x)=e^ax & e^-axa e^ax & -a e^-ax=e^ax(-a e^-ax) - (a e^ax)e^-ax=-2a Se a≠0, W(x)≠0 e as funções são independentes.