As seguintes funções são Linearmente independentes no intervalo dado?
a) x, x ln (x) (0 (Resp. sim );
b) e^a x, e^-a x qualquer intervalo (Resp. sim se a neq 0 );
c) ln (x), ln (x^2) (x>0) (Resp. não );
d) 5 sin (x) cos (x), 3 sin (2 x) (x>0) (Resp. não );

Passo 1

Vamos verificar a independência linear de cada par de funções usando o Wronskiano e, quando for mais rápido, observando relações óbvias de proporcionalidade.

Passo 2

Para (a) f₁(x)=x e f₂(x)=x ln(x) no intervalo 0<x<10 definimos o Wronskiano:
W(x)=x & xln(x)1 & 1+ln(x)=x(1+ln(x)) - xln(x)=x Como x≠0 em (0,10), temos W(x)≠0 e são linearmente independentes.

Passo 3

Para (b) f₁(x)=e^{ax} e f₂(x)=e^{-ax} em qualquer intervalo, calculamos
W(x)=e^ax & e^-axa e^ax & -a e^-ax=e^ax(-a e^-ax) - (a e^ax)e^-ax=-2a Se a≠0, W(x)≠0 e as funções são independentes.

Passo 4

Para © f₁(x)=\ln(x) e f₂(x)=\ln(x²)=2\ln(x) em x>0 vemos que f₂=2f₁, logo é dependência linear direta e Wronskiano igual a zero. Portanto são dependentes.

Passo 5

Para (d) f₁(x)=5\sin(x)\cos(x)=(5/2)\sin(2x) e f₂(x)=3\sin(2x) em x>0, vemos que f₁=(5/6)f₂. Há dependência linear e Wronskiano nulo.

Resposta

a) Sim; b) Sim se aneq 0; c) Não; d) Não

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