Usando o método da variação dos parâmetros, resolva a EDO
y^prime prime+6 y^prime+9 y=r(x)
em que r(x)=1 para 1 <= x <= 2, e r(x)=0 para todos restantes valores de x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem y''+6y'+9y=r(x), onde r(x)=1 em [1,2] e zero fora, usando variação de parâmetros. Vamos precisar da solução geral da homogênea, calcular as integrais que aparecem em variação de parâmetros e montar a solução em cada região do eixo.

Passo 2

Começamos resolvendo a homogênea associada
y''+6y'+9y=0
A equação característica é r^2+6r+9=0, cuja raiz dupla é r=-3. Logo as soluções fundamentais são
y1(x)=e^-3x,
y2(x)=x e^-3x
O Wronskiano vale W(y1,y2)=e^-6x.

Passo 3

Pelas fórmulas de variação de parâmetros temos
u1'(x)=-y2(x)r(x)W=-x e^3xr(x),
nu2'(x)=y1(x)r(x)W=e^3xr(x)
Então
nu1(x)=-integral x e^3xr(x),dx,
nu2(x)=integral e^3xr(x),dx
A parte particular é
yp=nu1y1+nu2y2

Passo 4

Para x<1 temos r(x)=0, então nu1=nu2=0 e
y(x)=C1e^-3x+C2x e^-3x

Passo 5

Para 1<= x<=2 calculamos
nu2(x)=integral1^x e^3t,dt=13l(e^3x-e^3r),
nu1(x)=-integral1^x t e^3t,dt=-l(tfrac13x e^3x-tfrac19e^3x-tfrac13e^3+tfrac19e^3r)
Disso segue
yp(x)=19-3x-29e^3(1-x)
e a solução total em [1,2] é
y(x)=C1e^-3x+C2x e^-3x+19-3x-29e^3(1-x)

Passo 6

Para x>2 as integrais estacam em 1to2:
nu2=tfrac13(e^6-e^3),
nu1=-integral1^2 t e^3t,dt=-(tfrac59e^6-tfrac29e^3)
Logo
yp(x)=3x-59e^3(2-x)-3x-29e^3(1-x),
e a solução geral para x>2 fica
y(x)=C1e^-3x+C2x e^-3x+3x-59e^3(2-x)-3x-29e^3(1-x)

Resposta

A solução geral da EDO é dada peça-por-peça por:
Para x<1:
y(x)=C1e^-3x+C2x e^-3x
Para 1<= x<=2:
y(x)=C1e^-3x+C2x e^-3x+19-3x-29e^3(1-x)
Para x>2:
y(x)=C1e^-3x+C2x e^-3x+3x-59e^3(2-x)-3x-29e^3(1-x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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