Usando o método da variação dos parâmetros, resolva a EDO
em que
para
, e
para todos restantes valores de
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem
, onde
em
e zero fora, usando variação de parâmetros. Vamos precisar da solução geral da homogênea, calcular as integrais que aparecem em variação de parâmetros e montar a solução em cada região do eixo.
Passo 2
Começamos resolvendo a homogênea associada
A equação característica é
, cuja raiz dupla é
. Logo as soluções fundamentais são
O Wronskiano vale
.
Passo 3
Pelas fórmulas de variação de parâmetros temos
Então
A parte particular é
Passo 4
Para
temos
, então
e
Passo 5
Para
calculamos
Disso segue
e a solução total em
é
Passo 6
Para
as integrais estacam em
:
Logo
e a solução geral para
fica
Resposta
A solução geral da EDO é dada peça-por-peça por:
Para :
Para
Para
:
Para
:
onde
e
são constantes arbitrárias.