Verifique que Im(f) subset Dom(g) e determine g circ f se:
a) f(x)=x+2, g(x)=3 x+1
b) f(x)=x^2+2, g(x)=raizx
c) f(x)=x^2+3, g(x)=x+1x-2
d) f(x)=2 x-3, g(x)=-x^2+3 x+1
e) f(x)=x+1, g(x)=2x-2
f) f(x)=xx+1, g(x)=x+1x-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a imagem de f está contida no domínio de g e, em seguida, determinar a composição gcirc f em cada caso. O conteúdo envolve imagens (conjunto de valores de saída), domínios (conjunto de valores de entrada) e composição de funções.

Passo 2

Para (a), f(x)=x+2 tem imagem R e g(x)=3x+1 tem domínio R. Como RsubsetR, a composição está bem definida. Logo: g(f(x))=3(x+2)+1=3x+7.

Passo 3

Para (b), f(x)=x^2+2 tem imagem [2,infty) e g(x)=raizx tem domínio [0,infty). Como [2,infty)subset[0,infty), está tudo certo. Logo: g(f(x))=raizx^2+2.

Passo 4

Para ©, f(x)=x^2+3 tem imagem [3,infty) e g(x)=x+1x-2 tem domínio Rsetminus2. Como x^2+3>=3>2, temos [3,infty)subsetRsetminus2. Logo: g(f(x))=(x^2+3)+1(x^2+3)-2=x^2+4x^2+1.

Passo 5

Para (d), f(x)=2x-3 tem imagem R e g(x)=-x^2+3x+1 tem domínio R. Logo a composição existe para todo real e: g(f(x))=-(2x-3)^2+3(2x-3)+1=-4x^2+18x-17.

Passo 6

Para (e), f(x)=x+1 tem imagem R e g(x)=2x-2 tem domínio Rsetminus2. Como 2inR, existe x tal que f(x)=2 (por exemplo x=1), então Im(f)notsubsetDom(g). A composição só está definida quando x+1neq2, ou seja xneq1. Nesse caso: g(f(x))=2(x+1)-2=2x-1.

Passo 7

Para (f), f(x)=xx+1 tem domínio Rsetminus-1 e imagem Rsetminus1. g(x)=x+1x-1 tem domínio Rsetminus1. Assim Im(f)subsetDom(g) e: g(f(x))=xx+1+1xx+1-1=-2x-1, definido para xneq-1.

Resposta

a) gcirc f(x)=3x+7;
b) gcirc f(x)=raizx^2+2;
c) gcirc f(x)=x^2+4x^2+1;
d) gcirc f(x)=-4x^2+18x-17;
e) Im(f)=R não está contida em Dom(g)=Rsetminus2; a composição só existe para xneq1 e gcirc f(x)=2x-1;
f) gcirc f(x)=-2x-1 com xneq-1.

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