Encontre uma EDO do tipo y^prime prime+a y^prime+b y=0 que tenha o seguinte sistema fundamental de soluções:
e^2 x, e^-x

Passo 1

O enunciado pede uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes na forma y'' + a y' + b y = 0, cujo sistema fundamental de soluções é e^2x, e^-x. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Sabendo que, para soluções e^r x, a equação característica é r^2 + a r + b = 0. Aqui temos as raízes r1 = 2 e r2 = -1, vindas dos expoentes em e^2x e e^-x.

Passo 3

Fatorando o polinômio com essas raízes, obtemos
(r - 2)(r + 1) = r^2 - r - 2
Comparando com r^2 + a r + b, concluímos que a = -1 e b = -2.

Passo 4

Substituindo esses valores de a e b na EDO original, chegamos à equação desejada.

Resposta

y'' - y' - 2y = 0

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