Encontre uma EDO do tipo y^prime prime+a y^prime+b y=0 que tenha o seguinte sistema fundamental de soluções:
e^-x cos x, e^-x sen x

Passo 1

A questão pede para encontrar uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes do tipo y'' + a,y' + b,y = 0, cujo conjunto fundamental de soluções é e^-xcos x,,e^-xsin x. Vamos usar a teoria de equação característica e raízes complexas.

Passo 2

Quando a equação característica r^2 + a r + b = 0 tem raízes complexas conjugadas r = alpha pm ibeta, as soluções reais são e^alpha xcos(beta x) e e^alpha xsin(beta x). Comparando, temos alpha = -1 e beta = 1, ou seja, as raízes são r = -1 pm i.

Passo 3

Pela relação entre coeficientes e raízes, a soma r1 + r2 = -a e o produto r1 r2 = b. Calculamos
r1 + r2 = (-1 + i) + (-1 - i) = -2,
logo -a = -2 e assim a = 2.
Agora o produto:
r1 r2 = (-1 + i)(-1 - i) = (-1)^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 2,
portanto b = 2.

Passo 4

Substituindo em y'' + a y' + b y = 0, obtemos
y'' + 2y' + 2y = 0

Resposta

y’’ + 2y’ + 2y = 0

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